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Un instrument de papier de Pierre Apian

Je vous propose, au travers de cette page, de faire un voyage dans le temps à la rencontre d'un mathématicien, astronome et cartographe allemand de la première moitié du XVIe siècle, Pierre Apian.
Je travaille dans une bibliothèque universitaire abritant un fonds d'ouvrages anciens, dont certains traitent d'astronomie. Dans la réserve où flotte une odeur de papier vieilli, d'illustres auteurs se cotoient à présent sur les rayonnages, malgré leurs profondes différences : Galilée n'est pas loin de Sacrobosco, Riccioli de Copernic, Huygens de Newton... Le plus souvent, ils parlent en grec, en latin essentiellement, mais aussi en italien, en allemand, en français etc... Une des mes fonctions est de leur apporter un peu de réconfort en chassant la poussière qui aimerait tant les recouvrir, et de redonner à leur cuir leur lustre d'antant. Bref, une tache modeste comparée à leur savant et précieux contenu...
L'un d'entre eux, La Cosmographie de Pierre Apian renferme dans ses pages d'admirables instruments de papier permettant de résoudre des problèmes de type astronomique. C'est de l'un de ces instruments que je souhaite vous parler maintenant.

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Pierre Apian

Titre Pierre Apian ou Petrus Apianus de son nom latinisé et de son vrai nom Peter Bienewitz ou Bennewitz est né en 1495 à Leisnig en Saxe, état du Saint Empire romain germanique. De 1516 à 1519, il étudie les mathématiques et l'astronomie à l'université de Leipzig, enseignement qu'il poursuit à l'Université de Vienne jusqu'en 1521, date à laquelle il obtient son baccalauréat. En 1522, une épidémie de peste lui fait probablement quitter la capitale du Saint Empire. Il publie ses premiers ouvrages à Ratisbonne et à Landshut. C'est dans cette ville du sud-est de la Bavière qu'il rencontre, en 1526, sa femme Katharina Mosner, fille d'un conseiller de Landshut. Ils auront ensemble 14 enfants dont Philippe (1531-1589) qui deviendra un mathématicien et un médecin reconnu. Il s'installe ensuite à Ingolstadt en 1526, avec sa femme et débute, avec son frère Georg, des travaux d'imprimerie. Il est nommé professeur de mathématiques à l'Université d'Ingolstadt en 1527.
Pierre Apian devient l'un des plus brillants mathématiciens de son temps. Son œuvre recouvre de nombreux domaines d'étude. Contemporain des voyages de Magellan, il édite à Vienne en 1520 une mappemonde cordiforme sur laquelle figure, pour l'une des premières fois, le nom America . Par la suite, il composera des traités de cosmographie, d'astronomie, de géographie, de mathématiques, d'arithmétique, de constructions d'instruments et même d'astrologie... Il sera anobli par Charles Quint à qui, il dédiera en 1540 son magnifique ouvrage intitulé Astronomicum Caesarum, l'Astronomie des Césars. Malgré les sollicitations de diverses universités européennes, il enseigne à l'Université d'Ingolstadt jusqu'à sa mort qui survient en 1552.
(Source : La page de Kurt Scheuerer).

Dans son ouvrage paru en 1715 Les éloges des hommes savans, tirez de l'histoire de M. de Thou, voici ce que Antoine Teissier (1632-1715) dit de Pierre Apian :

« Pierre Apian naquit à Leiznich, de la famille des Binéviciens. Or comme le mot byne signifie en allemand une abeille, on l'appella Apianus du mot Latin apis qui signifie une abeille. Il s'acquit une si grande réputation par son savoir, qu'il était consulté continuellement par les hommes doctes d'Allemagne, de France, d'Italie et d'Espagne, qui lui écrivoient et le visitoient pour avoir l'éclaircissement de leurs doutes.(...) L'Empereur Charles avait tant d'estime pour Pierre Apian, qu'il s'entretenoit souvent avec lui, qu'il l'ennoblit, qu'il le fit Comte et Chévalier, lui ayant donné des armes très honorables, savoir une Aigle à deux têtes qui voloit dans les nues. Il l'investit de quelques Fiefs, et il le récompensa magnifiquement, lorsqu'Apian lui présenta ses ouvrages.»

Cosmographicus Liber

page-titre En 1524, Pierre Apian redige un traité de cosmographie, de géographie et de chorographie (topologie) intitulé Cosmographicus Liber. Après avoir défini ces trois matières, l'auteur présente l'astronomie géocentrique des Anciens et particulièrement de Claude Ptolémée à la manière d'un Jean de Sacrobosco (auteur de Sphaera Mundi ou Les sphères du Monde, rédigé vers 1230). Il propose également une méthode innovante de détermination des longitudes à partir de la position de la Lune et des étoiles fixes, un mode d'emploi pour la fabrication du bâton de Jacob dans le but d'effectuer des mesures de positions d'astres. Il présente ensuite diverses méthodes de calcul de distance de lieux à partir de leurs coordonnées géographiques, des descriptions des quatre parties du monde et bien d'autres choses encore... L'ensemble est abondamment illustré par de superbes gravures sur bois et accompagné de nombreuses tables numériques. L'ouvrage contient également un calendrier zodiacal et quatre volvelles , remarquables instruments mathématiques de papier permettant de résoudre et d'éclairer les problèmes de types astronomiques présentés au lecteur.
Cosmographicus Liber connaît un vrai succès populaire au cours du XVIe siècle, avec la contribution dès 1529 du mathématicien Gemma Frisius qui y apporte compléments et corrections. C'est réellement un ouvrage de vulgarisation scientifique tant les sujets traités sollicitent le lecteur au travers d'applications pratiques à réaliser.
L'ouvrage connaitra de multiples éditions de 1524 à 1609 (plus de quarante) et sera traduit en de nombreuses langues vernaculaires dont le français en 1544 et 1581 (Voir dans le Bibliographe Moderne de mars-juin 1901 et de juillet-octobre 1901 l'article de F. Van Ortroy Bibliographie de l'œuvre de Pierre Apian, géographe et astronome allemand du XVIe siècle).

Le titre de l'édition française de 1544 ( ici sur Archive.org) est « La Cosmographie de Pierre Apian, livre très utile traitant de toutes les régions et pays du monde par artifice astronomique nouvellement traduit de latin en français ».
La version de 1581 est intitulée « Cosmographie, ou description des quatre parties du monde, contenant la situation, division et étendue de chacune région et province d'icelles écrite en latin par Pierre Apian ».

Lire ou consulter Cosmographicus

Des éditions numériques de Cosmographicus Liber sont disponibles sur Internet, notamment sur Archive.org ou sur Gallica, le site des ouvrages numérisés de la Bibliothèque Nationale de France.
De nombreuses bibliothèques municipales et universitaires le proposent, sur demande, à la consultation sous sa forme papier. La Bibliothèque Universitaire des Sciences et Techniques (BUST) de l'Université de Bordeaux possède deux exemplaires de l'ouvrage de Pierre Apian :
• un exemplaire en langue française, Cosmographie ..., imprimé en 1581 à Anvers par Jean Bellère (la page de titre).
La date d'édition de cet exemplaire a visiblement été modifiée. En effet, il semblerait que deux chiffres romains ont été rajoutés à la date originale « M.D. LXXXI. ». Sur l'agrandissement suivant, il apparaît clairement que le point suivant le premier « I » romain a été volontairement surchargé et transformé en un autre « I » romain, auquel succède un autre « I » romain pour former la date « M.D. LXXXIII. ».
• un exemplaire en latin Cosmographia ..., imprimé également à Anvers par Joannis Withagii (Jean Withaye ou Withagius) (la page de titre).

Les textes en français de la Cosmographie, présentés dans cette page, sont extraits de l'édition de 1544.
Quant aux images, elles sont extraites de l'édition originale de 1524.

L'instrument de papier

intrument1524 Voici l'instrument présenté dans la première édition en latin de Cosmographicus Liber, l' editio princeps, imprimée à Landshut en 1524 par Joannis Weyssenburgers (Landshutae, 1524, f.24). L'image provient d'un ouvrage numérisé de la Smithsonian Library de Washington consultable via ce lien.
Les volvelles de Pierre Apian sont composées de plusieurs éléments de papier, certains étant mobiles autour un axe. Ce sont de véritables outils didactiques, permettant au lecteur de passer de la théorie à la pratique.
Celle qui nous intéresse ici est une sorte cadran solaire universel qui permet entre autres :
• la mesure de l'heure solaire vraie
• la détermination de la latitude d'un lieu
• le calcul des levers et des couchers de Soleil
• le calcul de la durée des crépuscules et des aurores

Neuf propositions sont exposées par Apian afin d'utiliser son instrument de papier. Elles seront détaillées ci-après.

Description de l'instrument

Pour réaliser son instrument qu'il qualifie de «spécial, particulier» (organum speciale), Pierre Apian a utilisé une projection orthographique de la sphère céleste sur le plan méridien.
« C'est la plus simple des projections sphère-plan qui s'obtient en illuminant une sphère transparente par un pinceau de lumière parallèle. ». Cette projection utilisée dès l'Antiquité porte le nom d'analemme (c'est un homonyme de la figure en forme de 8 tracée dans le ciel, au cours de l'année, par les différentes stations méridiennes du Soleil). Claude Ptolémée composa un traité sur le sujet : «De l'analemme», ouvrage lacunaire traduit au XVIe siècle par Federico Commandino.

Dans son Histoire de l'Astronomie Ancienne (Vol,2 page 458), voici ce qu'écrit Delambre au chapitre concernant l'analemme

« L'analemme est la description de la sphère sur un plan. On y trace les sections des différents cercles, tels que les parallèles diurnes et tout ce qui peut faciliter la science des ombres et des cadrans. Cette description se fait par des perpendiculaires abaissées sur le plan; ce qui lui a fait donner par les modernes le nom de projection orthographique. (…) Les cercles principaux de l'analemme sont l'horizon, le premier vertical et le méridien..».

Pour (re)dessiner l'instrument de Pierre Apian, j'ai utilisé le logiciel libre Géogébra avec une routine de construction, présentée dans l'ouvrage «Instruments scientifiques à travers l'histoire» paru en 2004 aux Éditions Ellipses sous la direction d'Élisabeth Hébert (page 151, Chapitre 7 de Véronique Hauguel – Tournent, tournent les volvelles) . J'ai également utilisé le passionnant ouvrage de Raymond d'Hollander (1918-2013) «L'Astrolabe, histoire, théorie et pratique», paru en 1999 aux Éditions Institut océanographique (page 263, Chapitre IX - L'astrolabe de Rojas) et l'excellent opuscule d'Yvon Massé «De l'analemme aux cadrans de hauteur» paru en 2009 à compte d'auteur.
J'ai réalisé deux constructions avec Geogebra, la première s'inspirant de l'ouvrage «Instruments scientifiques à travers l'histoire», et la seconde de l'ouvrage «L'Astrolabe, histoire, théorie et pratique». J'aborde leur petite différence à la fin de cet article.

L'instrument se compose de quatre éléments de papier superposés et de deux fils à plomb

instrumentdescription ① Support fixe, la page de l'ouvrage dans la version imprimée, comportant un quart de cercle gradué de 0 à 90° dont le centre est centre de rotation des autres éléments de l'instrument.
② Disque mobile sur lequel sont tracés :
• des arcs horaires gradués de 1h à 12h sur la partie supérieure du disque et à l'inverse sur la partie inférieure. La circonférence du disque correspond à l'arc horaire des 12 heures.
• des lignes parallèles espacées par des intervalles de 10° correspondant aux déclinaisons du Soleil lorsque celui-ci parcourt les différents signes du zodiaque. La ligne centrale correspond à l'équateur céleste, les deux lignes extérieures correspondent au tropique du Cancer (en haut) et au tropique du Capricorne (en bas).
• un calendrier zodiacal de part et d'autre des extrémités des parallèles de déclinaison. Chaque calendrier est composé des douze signes du zodiaque, opposés deux à deux. Chaque signe réunit trois lignes parallèles de déclinaison soit 30°.
• deux index polaires diamétralement opposés avec le pôle Nord situé sur le haut du disque mobile.
③ Triangle rectangle isocèle, mobile autour d'un point situé hors du sommet opposé à l’hypoténuse. L'un des côtés du triangle porte une pinnule de papier qui se relève à 90° faisant office de gnomon.
④ Languette rectangulaire correspondant à la ligne horizon, mobile autour d'un point situé hors de sa surface. Elle est maintenue en position verticale, sur la graduation 0 du quart de cercle gradué, par un morceau de cire. Elle porte, sur sa moitié inférieure, un repère de verticalité sur lequel vient pendre l'un des deux fils à plomb
⑤ Deux fils à plomb fixés pour l'un sur le haut du repère de verticalité de la languette horizon, pour l'autre sur un point situé sur le côté du triangle rectangle, en direction du quart de cercle gradué, à l'intersection du diamètre du disque mobile.

Diverses inscriptions en latin figurent sur les quatre éléments :

• Sur le support fixe ①, Zénith en regard de la graduation 90° du quart de cercle gradué.
• Sur le disque mobile ②, Index, Elevatio Poli (Élévation du pôle), Horae po(st)meridianae (Heures d'après-midi), Horae antemeridianae (Heures d'avant-midi), Polus Antarticus (Pôle sud), les symboles graphiques des douze signes du zodiaque et les graduations horaires de 1h à 12h au-dessus et au-dessous des parallèles de déclinaison.
• Sur le triangle rectangle ③, Trigonus (triangle), Linea Umbrae (Ligne des ombres), Pinnacidium (Pinnule).
• Sur la languette horizon ④, Horizon Vel Linea Ortus (Horizon ou Lignes des Levers) et Linea Aurorae Vel Crespusculina (Lignes des Aurores ou des Crépuscules ?).
L'instrument en pièces détachées

La cosmographie de Pierre Apian

representation-spheres La cosmographie médiévale est déterminée par une représentation géocentrique de l'Univers, héritée d'une longue tradition scientifique qui puise ses racines dans l'Antiquité grecque.
C'est cette vision du monde que Pierre Apian présente à ses lecteurs au second chapitre de son ouvrage (gravure ci-contre f.6) Elle repose sur la division physique mais aussi philosophique du Monde en deux parties de nature différente : la région élémentaire et la région céleste.
• La région élémentaire s'étend de la Terre jusque sous la sphère de la Lune. C'est le monde sublunaire, lieu de tous les changements, de la contingence, de la génération et de la corruption. Quatre éléments simples entrent dans sa composition : la terre, l'eau, l'air et le feu. L'élément terre, de par sa pesanteur, maintient la Terre immobile au centre du Monde.
• La région céleste comprend dix sphères s'imbriquant les unes dans les autres, depuis la sphère de la Lune jusqu'à celle du Premier Mobile qui imprime son mouvement diurne de 24 heures à l'ensemble des autres sphères. C'est le lieu de la perfection, du mouvement circulaire, de l'éther ou Quinte Essence des Philosophes, le cinquième élément inaltérable et éternel. Au-delà de la dixième sphère, s'étend l'Empyrée, le séjour de Dieu et des Bienheureux.
Héritage antique transmis en Europe par les savants du monde musulman à l'aube du XIe siècle, cette représentation des sphères célestes est l’œuvre de la pensée grecque, formalisée au IVe siècle av J.C. par Aristote dans ses ouvrages Du traité du Ciel et des Météores et consacrée au IIe ap J.C. par Claude Ptolémée dans son ouvrage La Composition Mathématique, plus connu sous son titre arabisé d' Almageste. Elle se diffuse et s'impose dans l'occident chrétien dès le XIIe siècle et devient la clé de voûte de l'enseignement de l'astronomie lors de la naissance des universités médiévales au XIIIe siècle.

sphere-armi Le troisième chapitre débute par une définition géométrique de la sphère ( solidum) et de l'axe des pôles ( poli mundi), l'un de ses diamètres. Puis Pierre Apian énumère les cercles imaginaires qui permettent à un observateur, situé au centre du Monde, de décrire les mouvements apparents des différents corps célestes pour lesquels la sphère armilliaire est un modèle et une représentation matérielle (gravure ci-contre f.9)
D'abord les six grands cercles de la sphère céleste :
• l'horizon
• le méridien
• l'équateur céleste
• le zodiaque
• le colure des équinoxes
• le colure des solstices.
Puis les quatre petits :
• le tropique du Cancer
• le tropique du Capricorne
• le cercle arctique
• le cercle antarctique.

Au passage, Pierre Apian nous livre la valeur de l'obliquité de l'écliptique qu'il utilise : elle est égale à 23°30'.
Dans le quatrième chapitre, il démontre la sphéricité de la terre et de l'eau, observable lors des éclipses de Lune, par la rondeur de l'ombre qu'elles projettent sur le disque lunaire et affirme leur immobilité au centre du Monde (in medio mundi immobilis).
Abordant des notions de géographie, il poursuit par la description des cinq cercles de la Terre, identiques à ceux du Ciel:
• l'équateur
• les tropiques du Cancer et du Capricorne
•les cercles boréal et austral
Ces cercles définissent cinq grandes zones climatiques, les deux zones polaires où il fait un froid horrible, les deux zones tempérées et habitables et la zone équinoxiale, située entre les tropiques et supposée inhabitable parce que brûlante et torride.
Dans le cinquième, sixième et septième chapitre, Apian donne les définitions des cercles parallèles terrestres, des climats (neuf divisions de latitude situés de part et d'autre de l'équateur) et des longitudes, dont le méridien d'origine était alors situé aux îles Fortunés (les îles Canaries).

Voilà donc le lecteur en possession de bases cosmographiques, astronomiques et géographiques. Les descriptions de la sphère céleste et de la sphère locale sont toujours accompagnées de gravures dont voici un florilège pour conclure ce rapide survol de la cosmographie de Pierre Apian.

L'Égalité de la latitude d'un lieu avec la hauteur du pôle sur l'horizon

Au huitième chapitre, Pierre Apian propose à son lecteur le passage à la pratique. Pour enseigner l'égalité de la latitude d'un lieu avec la hauteur du pôle Nord céleste sur l'horizon de ce lieu, il présente son premier instrument de papier:

La volvelle comprend:

✔ une base fixe, la page de l'ouvrage sur laquelle est dessiné un cercle divisé en quatre quadrants gradués de 0 à 90° et portant deux diamètres perpendiculaires représentant l'axe des pôles célestes et l'équateur céleste.
De part et d'autre de la ligne équinoxiale, les quadrants présentent une graduation en sens inverse de celui qui précède.
✔ un demi-disque mobile portant la ligne d'horizon Nord-Sud et perpendiculaire à celle-ci, la verticale du lieu ornée d'un personnage marchant sur la Terre en pointant un doigt en l'air vers le zénith.
Justification de l'égalité

Le méridien du lieu constitue le plan de la figure suivante. C'est le grand cercle passant par l'axe des pôles célestes PP' et la verticale du lieu ZN (zénith-nadir) rencontrant l'horizon au point H et H' (Nord et Sud).
En complément, la figure présente la ligne horizon, tangente au cercle méridien au point Z.
L'orientation de la figure correspond à celle de la volvelle présentée ci-dessus.

justifications Considérons les 2 angles droits suivants :
soit ∠HOZ = ∠POE = 90°

Nous avons :
∠HOZ = ∠HOP + ∠POZ = 90°
et
∠POE = ∠POZ + ∠ZOE = 90°

Si ∠HOZ = ∠POE = 90°
alors
∠HOP + ∠POZ = ∠POZ + ∠ZOE

Retranchons l'angle ∠POZ, terme commun aux deux membres de l'égalité (l'égalité reste vraie)

Nous obtenons : ∠HOP = ∠ZOE

✔ L'angle ∠HOP correspond à la hauteur du pôle nord céleste sur l'horizon Nord.
✔ L'angle ∠ZOE correspond à la latitude φ d'un lieu.
Dans l'hémisphère Nord, la latitude d'un lieu est donc bien égale à la hauteur du pôle Nord céleste sur l'horizon.
✔ L'angle complémentaire de la latitude s'appelle la co-latitude notée θ et vaut 90 °- φ
✔ Sur la figure ci-dessus, la co-latitude θ correspond aux arcs de cercle PZ et EH'.

 

chap9

Nous voici arrivés au neuvième chapitre de l'ouvrage de Pierre Apian, dans lequel il présente l'instrument de papier qui nous intéresse. Vont suivre neuf propositions dans lesquelles le mode d'emploi de l'instrument est fourni.

La première proposition

prop1

Si vous désirez savoir artificiellement (par le moyen de la technique) chaque jour quand il vous plaira la hauteur du soleil dessus l'horizon. 1) Haussez ce présent livre avec la figure qui s'ensuit le dessus dessous, et le devant dudit livre vers le soleil (le livre est retourné et orienté vers le Soleil), de sorte que 2) le perpendicle ou plomb (fil à plomb) qui tient à la corde du signe C (la languette Horizon), pende franchement sur le perpendicle de la figure peinte (c'est une mise à niveau de l'instrument). Et 3) mettez le triangle mobile avec le pinnacide vers les rayons du soleil, de sorte que la face de l'instrument soit tournée vers vous, et faîtes que le dessous du livre à la main sénestre s'élève (précisions sur la façon de tenir l'instrument). Derechef (ensuite) 4) soulevez ou abaissez petit à petit le triangle ou la figure de trois angles (le Trigonus) avec le pinnacide vers le soleil jusqu'à ce que la plus haute partie de l'ombre du pinnacide, tombe droit sur la ligne de l'ombre. (le pinnacide fait office de gnomon). Ce fait, 5) considérez combien de degrés est élevé l'index ou la montre du triangle sur l'horizon. Et le nombre desdits degrés est en cet instant la hauteur du soleil.

1) Orientation de l'instrument par retournement du livre en direction des rayons du Soleil
2) Mise à niveau de l'instrument par l'alignement du fil à plomb de la languette Horizon sur son repère
3) Orientation du pinnacide (la pinnule) par rotation du Trigonus en direction du Soleil
4) Alignement de l'ombre du Soleil sur le repère Linea Vmbra du gnomon-pinnacide
5) Lecture de la hauteur mesurée en degrés sur le quadrant gradué

Dans cette première proposition, l'instrument est utilisé pour mesurer la distance angulaire du Soleil au-dessus de l'horizon. Cet angle est appelé hauteur du Soleil et se note h.
Cette manipulation est utilisée à l'identique au début de la troisième et la quatrième proposition.

Au début du XVe siècle, les astronomes et les navigateurs disposaient de quelques instruments, parfois rudimentaires, afin de réaliser cette mesure :

L'armille simple composée de deux anneaux concentriques perpendiculaires
La sphère armillaire, représentation matérielle des cercles de la sphère céleste
✔ L'astrolabe planisphérique et nautique
Le nocturlabe
Le quadrant
Le bâton de Jabob ou arbalestrille
Le torquetum ou turquet
✔ Le kamal, version simplifiée de l'arbalestrille


• Toutes les images proviennent du site du Museum of the History of Science d'Oxford sauf celle du torquetum qui provient d'Astronomicum caesareum, un splendide ouvrage composé par Pierre Apian en 1540 et numérisé par Digital Rare Book Collection at the Vienna University Observatory
• Pour une étude complète concernant ces instruments de mesure, voir les ouvrages « L'Astrolabe. Histoire, théorie et pratique » de Raymond D'Hollander ChapXIV page 317, et «Histoire du point astronomique en mer » de Jean-José Ségéric Chap2 page 57.

La Mesure de la hauteur en pratique
Comment ça marche...

volv16 L'orientation de la figure correspond à celle de l'instrument.

Traçons sur le cercle méridien du lieu de centre O :
✔ la verticale du lieu ZN
✔ la ligne horizon H_ Nord H_ Sud
✔Le point S et son projeté le point S'

h = hauteur du Soleil
Démontrons que h = ∠NOS = ∠H_ NordOS'
1° ∠NOS + ∠SOH_ Nord = 90°
et ∠H_ NordOS' + ∠S'OZ = 90°

2°∠SOS' = 90°
Or ∠SOH_ Nord + ∠H_ NordOS' = 90°
⇒ ∠SOH_ Nord = 90°- ∠H_ NordOS'
et ∠H_ NordOS' = 90° - ∠SOH_ Nord

3° Remplaçons ∠SOH_ Nord dans l'égalité du 1°
∠NOS + (90°- ∠H_ NordOS') = 90°
∠NOS = 90° - 90° + ∠H_ NordOS'
∠NOS = ∠H_ NordOS'

La graduation pointée par le triangle sur le quadrant de la volvelle est égale à la hauteur du Soleil sur l'horizon

La deuxième proposition

prop2

Si vous désirez savoir comment connaître le vrai lieu du soleil (la longitude écliptique) de chaque jour avec la figure Théorique dudit soleil (Calendrier zodiacal appelé Figure ou instrument Théorique ou contemplatif du soleil). 1) Prenez au cercle des jours et des mois (le calendrier des mois de la figure Théorique, divisé en 365,25 intervalles égaux et excentré par rapport à la couronne zodiacale) le jour à propos duquel vous voulez savoir le degré du soleil (la position du soleil sur l'écliptique). Sur lequel (le jour choisi) 2) vous étendez le filet du centre ou milieu de la figure Théorique du soleil, et ce ainsi étendu sur le dernier cercle, 3) vous montera le signe et le degré dudit signe, en lequel le soleil tiendra en cette journée. (le fil central tendu sur une date choisie du calendrier des mois intercepte sur le cercle extérieur ou calendrier zodiacal de la figure, la position du Soleil en degré de signe). 4) Mais en l'an bissexte, après la fin du mois de Février jusqu'à la fin de l'année, il faut ajouter un jour davantage (en plus) au jour où l'on veut savoir ledit lieu du soleil. Et compté au cercle ou limbe des mois, le filet montrera le vrai mouvement du soleil sur le midi (ajout d'un jour lors d'une année bissextile à partir du 29 février pour connaître le vrai point solaire).

• Utilisation de la figure théorique du Soleil ou Calendrier zodiacal et non de la volvelle
1) Affichage de la date choisie à l'aide de la ficelle sur le calendrier de la couronne intérieure de la figure
2) La ficelle tendue intercepte le calendrier zodiacal situé sur la couronne extérieure
3) Le vrai lieu du Soleil ou position du Soleil sur l'écliptique est affiché en degrés de signe zodiacal
4) Ajout d'un jour supplémentaire sur le calendrier de la couronne intérieure après le 28 février lors des années bissextiles.

La seconde proposition laisse de côté l'instrument de papier pour utiliser une gravure d'un calendrier zodiacal intitulée Figure ou instrument Théorique ou contemplatif du soleil (Instrumentum theoricae solis). Cette dernière va permettre d'obtenir une donnée essentielle à l'utilisation de l'instrument : le vrai lieu du Soleil autrement dit sa longitude écliptique en degrés de signe.

La Figure Théorique du Soleil :

volv18 La Figure Théorique est un calendrier zodiacal qui permet, pour une date donnée, de déterminer le vrai lieu du Soleil (verum locum solis) c'est à dire sa position sur l'écliptique.
Connaître le vrai lieu du Soleil, c'est mettre en correspondance un jour du calendrier usuel avec la position de l'astre solaire dans l'un des signes du zodiaque.
Le calendrier zodiacal était généralement gravé au dos des astrolabes, ainsi que les deux éléments visibles sur la gravure ci-contre en dessous du personnage : à droite, un carré des ombres et à gauche, un diagramme d'heures inégales.

Les éléments de la Figure Théorique qui nous intéressent sont :

✔ la couronne intérieure portant les mois et les jours de l'année
✔ la couronne extérieure portant les signes du zodiaque gradués par 30°
✔ la ficelle fixée au centre de la figure (absente sur la gravure ci-contre)

Pour effectuer la manipulation, la ficelle est tendue sur une date de la couronne intérieure jusqu'au limbe de la couronne extérieure, sur lequel on lit le degré de signe intercepté.

Calculons pour deux dates le vrai lieu du Soleil (la ficelle est représentée par un trait rouge) :
① La ficelle tendue sur la date du 10 novembre intercepte la graduation 27° Scorpius sur la couronne zodiacale. Le Soleil se trouve au degré 27 du signe du Scorpion (27° ♏).
② La ficelle tendue sur la date du 10 mars intercepte la graduation 0° Aries sur la couronne zodiacale. Le Soleil se trouve au degré 0 du signe du Bélier (0° ♈).
Cette position particulière correspond à l'équinoxe de printemps. Notons que le calendrier de la Figure Théorique accuse un retard de 11 jours par rapport à la date de l'équinoxe fixée au 21 mars lors du concile de Nicée qui eut lieu en 325. Pierre Apian a composé son ouvrage avant la réforme du calendrier promulgué par le pape Grégoire XIII en 1582.

Le vrai lieu ou longitude du Soleil sur l'écliptique ainsi calculé est reporté sur le calendrier zodiacal de l'instrument.

La longitude écliptique et la déclinaison du Soleil :

Dans la vision géocentrique des Anciens, les différents mouvements du Soleil et de la sphère céleste étaient interprétés comme la réalité d'un monde en révolution autour d'une Terre qui en était le centre fixe et immobile. C'était, au début du XVIe siècle, avant Copernic, la représentation partagée par l'ensemble des savants, mathématiciens et astronomes-astrologues dont Pierre Apian faisait partie. Bien que nous savons pertinemment que cette vision était fausse, nous continueront de la partager, par commodité, avec nos illustres aînés.

volv19 Le Soleil semble se déplacer sur le cercle écliptique d'environ 1° par jour dans le sens direct (ou sens positif des mathématiciens, inverse des aiguilles de la montre), faisant un tour complet en un an et traversant douze constellations (treize en réalité...), les douze signes du zodiaque.

Deux paramètres sont utiles pour définir sa position :
la longitude écliptique
Notée λ, la longitude écliptique mesure la position du Soleil sur l'écliptique. De nos jours, elle se compte, dans le sens direct, de 0° à 360° à partir du point vernal γ. Mais, depuis l'Antiquité, la position du Soleil sur l'écliptique était définie par la place, en degrés de signe (de 0° à 30°) qu'il occupait dans le zodiaque. C'est ce que Pierre Apian nomme le vrai lieu du Soleil et calcule à l'aide du calendrier zodiacal.
la déclinaison
Notée δ, la déclinaison mesure la hauteur du Soleil par rapport à l'équateur céleste. Elle se compte positivement ou négativement selon que le Soleil est situé en dessus ou en dessous de l'équateur.

La figure ci-dessus permet de visualiser la position des signes du zodiaque sur l'écliptique.
Ils se répartissent autour de deux axes de symétrie :

✔ un axe formé par le solstice d'hiver σ' et le solstice d'été σ autour duquel les signes sont opposés deux à deux avec une égale déclinaison δ
✔ un axe formé par les points équinoxiaux γ γ' autour duquel les signes présentent des déclinaisons δ opposées.

En raison de l'obliquité de l'écliptique ε qui est actuellement de l'ordre de 23°26', la déclinaison δ du Soleil est variable selon la position qu'il occupe sur le cercle écliptique ( Le symbole du code HTML du Capricorne est différent de celui utilisé lors de la réalisation des figures...) :

✔ δ = 0° aux équinoxes lorsque le Soleil se trouve en 0° ♈ ou 0° ♎
✔ δ = +23°26' au solstice d'été lorsque le Soleil se trouve en 0° ♋
✔ δ = -23°26' au solstice d'hiver lorsque le Soleil se trouve en 0° ♑

Voici les positions du Soleil sur l'écliptique qui définissent nos saisons :

✔ Vers le 21 mars, à l'équinoxe de printemps, le Soleil occupe la position 0° ♈ (Bélier). Il est précisément à l'intersection de l'écliptique et de l'équateur céleste, figurée par le point vernal γ. Sa longitude écliptique et sa déclinaison sont égales à 0°.
✔ Vers le 21 juin, au solstice d'été, le Soleil occupe la position 0° ♋ (Cancer), figuré par le point solsticial σ. Sa longitude écliptique est de 90° et sa déclinaison, maximale pour l'hémisphère Nord, est +23°26'.
✔ Vers le 20 septembre, à l'équinoxe d'automne, le Soleil occupe la position 0° ♎ (Balance). Il est précisément à l'intersection de l'écliptique et de l'équateur céleste figuré par le point vernal γ'. Sa longitude écliptique est de 180° et sa déclinaison est égale à 0°.
✔ Vers le 21 décembre, au solstice d'hiver, le Soleil occupe la position 0° ♑ (Capricorne), figuré par le point solsticial σ'. Sa longitude écliptique est de 270° et sa déclinaison, minimale pour l'hémisphère Nord, est de -23°26'.

La longitude écliptique λ, la déclinaison δ et l'obliquité de l'écliptique ε sont d'ailleurs liés par une formule de trigonométrie sphérique applicable au Soleil : sin(δ) = sin(λ) x sin(ε)
Autant dire que la détermination de la valeur exacte de l'obliquité ε a fait l'objet, depuis les temps anciens jusqu'à une période récente, des recherches les plus assidues. Le grand Ptolémée (vers 150 après J.-C.) avait adopté la mesure obtenue 400 ans avant par Érastosthène de 23°51'. Pierre Apian nous donne une valeur de ε égale à 23°30'.

Voici deux tableaux en résumé de ce que nous avons présenté ci-dessus :

tableau1
tableau2
Le calendrier zodiacal de l'instrument

De part et d'autre du disque mobile, l'instrument de Pierre Apian présente un double calendrier zodiacal, associé aux parallèles de déclinaison definis précédemment. Chaque calendrier est composé de deux séries de six signes zodiacaux diamétralement opposés autour de l'axe Nord-Sud du disque mobile.

Prenons par commodité le calendrier formé par les douze signes se trouvant à la gauche de l'axe des pôles.

✔ La série la plus proche du diamètre du disque mobile porte, du bas vers le haut, les signes Capricorne ♑, Verseau ♒, Poissons ♓, Bélier ♈, Taureau ♉ et Gémeaux ♊.

✔ La série la plus extérieure du diamètre du disque mobile porte, du haut vers le bas, les signes Cancer ♋, Lion ♌, Vierge ♍, Balance ♎, Scorpion ♏ et Sagittaire ♐.

En raison de l'axe de symétrie formé par la ligne des points solsticiaux σ σ ' :

les couples [Capricorne ♑, Sagittaire ♐], [Verseau ♒, Scorpion ♏], [Poissons ♓, Balance ♎], [Bélier ♈, Vierge ♍], [Taureau ♉, Lion ♌] et [Gémeaux ♊, Cancer ♋] partagent les mêmes parallèles de déclinaison et affichent donc une égale déclinaison ou, ce qui revient au même, une hauteur égale au dessus-de l'équateur céleste.

De même, en raison de l'axe de symétrie formé par la ligne des points équinoxiaux γ γ' :

les couples [Capricorne ♑, Sagittaire ♐], [Verseau ♒, Scorpion ♏], [Poissons ♓, Balance ♎] présentent des déclinaisons opposées aux couples [Gémeaux ♊, Cancer ♋] , [Taureau ♉, Lion ♌] et [Gémeaux ♊, Cancer ♋].

La Figure Théorique du Soleil permet donc de reporter sur une ligne parallèle de déclinaison de l'instrument le degré de signe occupé par le Soleil pour un jour donné .

Si l'on ne dispose pas de calendrier zodiacal, on peut consulter des tables astronomiques du Soleil qui fournissent sa longitude écliptique ou des sites Internet qui la calcule.
Voici le site P.G.J. Astronomie, pratiqueet complet, qui permet d'obtenir une foule de données :
La première colonne et ligne du tableau obtenu fournit la longitude écliptique du Soleil.
Par exemple, pour le 30 avril 2015 à 13 heures, le résultat est: 39°52'35.46''.
Nous pouvons calculer le lieu du Soleil en degrés de signe: 39°52'35.46'' – 30° (les 30° depuis le signe 0° Bélier ) ≈ 10° ♉.

La troisième proposition

prop3

Pour trouver la hauteur ou élévation du pôle sur l'horizon pour chaque jour et pour chacune heure certaine du jour, si d'aventure vous êtes en quelque pays étranger. 1) Prenez pour cette heure la hauteur du soleil, comme il a été dit ci-dessus. Et puis les perpendicles ou plomb pendant droitement (mesure de la hauteur du soleil avec mise à niveau de l'instrument) 2) tournez et retournez l'instrument ou la figure jusqu'à ce que l'entretaillement (l'intersection) de l'heure prise et la ligne parallèle du degré du soleil, auquel il est en ce jour, soit menée ainsi droitement dessous le perpendicle du triangle, et 3) l'index ou trace de la roue, laquelle apparaît sur la circonférence ou périphérie de ladite roue, démontre la hauteur du pôle du lieu là où vous êtes alors. (hauteur polaire ou latitude donnée par la mesure de l'index sur l'arc gradué fixe de la figure) La manière comment l'on pourra parvenir à la connaissance de la hauteur du pôle par les étoiles de la nuit, nous l'enseignerons ailleurs.

• Pour calculer la latitude d'un lieu au moyen de l'instrument, la date et l'heure d'un jour sont nécessaires ainsi que la longitude écliptique λ du Soleil du jour en question.
1) Mise à niveau et orientation de l'instrument vers le Soleil pour mesurer sa hauteur
2) Par rotation du disque mobile, réglage de l'heure et de la ligne parallèle de déclinaison du Soleil au point d'intersection du fil à plomb du Trigonus.
3) L'index supérieur du disque mobile affiche alors la latitude du lieu d'observation.

L'exécution de cette manipulation, délicate à réaliser à l'aide de l'ouvrage, permet au lecteur du Cosmographicus Liber de découvrir le lien qui existe entre la latitude d'un lieu et la hauteur du Soleil pour une heure et un jour donnés.
L'instrument se comporte comme un cadran solaire portatif capable de fournir la latitude de n'importe quel lieu situé dans l'hémisphère Nord, à partir de la simple mesure de la hauteur du Soleil sur l'horizon.

La détermination de la latitude en pratique

Dans l'exemple ci-dessus, l'index Nord du disque mobile indique une latitude de 45°. Elle a été obtenue, lors de l'observation, à partir, des éléments suivants :
✔ la mesure de la hauteur du Soleil sur l'horizon, qui est égale à 27,5°
✔ la date du jour qui peut être le 19 février ou le 24 octobre
✔ L'heure de la mesure qui peut être 10h du matin ou 2h de l'après-midi (heures vraies solaires)

Les deux premières propositions étudiées plus haut ont été mises à contribution, l'une pour la mesure de la hauteur du Soleil sur l'horizon et l'autre pour la détermination de la longitude écliptique (la ligne parallèle correspondant au jour de l'observation). Ensuite, par rotation du disque mobile, il faut placer la ligne parallèle du jour choisi et l'arc horaire de l'heure de la mesure à l'intersection du fil à plomb du Trigonus. L'index de l'instrument affiche alors la latitude du lieu ou hauteur du pôle sur l'horizon.

Voici une autre représentation de cette manipulation:

L'instrument de papier fonctionne comme un cadran solaire dit universel, utilisable sous n'importe quelle latitude. Les heures lues sur le disque mobile sont des heures solaires vraies.

✔ Le support fixe représente la sphère locale de l'observateur défini par la verticale du lieu (Zénith-Nadir) et la ligne horizon Nord-Sud. La représentation classique avec le zénith en haut de la figure a subi une rotation anti-horaire de 90°.
✔ Le disque mobile représente la sphère céleste dont le plan est défini par l'axe des poles célestes et l'équateur céleste. Les lignes parallèles de déclinaison décrivent le parcours annuel du Soleil sur le cercle écliptique et les arcs horaires son parcours journalier.
✔ La projection de la position du Soleil, à l'heure et au jour l'observation, se situe à l'intersection du fil à plomb, de la parallèle de déclinaison 0° ♓ et de l'arc horaire 10h/2h.
✔ Le fil à plomb du Trigonus est perpendiculaire à la verticale du lieu. Il matérialise l'almucantarat de 27,5° de hauteur sur lequel le Soleil se trouve à l'heure de la mesure.
✔ L'intersection de cet almucantarat avec la ligne parallèle de déclinaison δ = -11°28' forme un angle égal à la co-latitude θ du lieu (θ = 90° - φ).
✔ La latitude φ, affichée sur le cadran gradée, est égale à l'angle formé par la verticale du lieu et l'équateur céleste et à l'angle formé par le pôle Nord céleste et l'horizon Nord.
✔ La co-latitude θ est l'angle complémentare à la latitude φ.

cdc1 Comparons les données fournies par le logiciel Cartes du Ciel à la date du 19 février pour une latitude de 45°:
① Nous sommes bien le 19 février, mais il 10h16m24s en Temps Universel
② L'angle horaire du Soleil est 22h, soit 10h du matin en Temps solaire vrai.
③ La longitude écliptique du Soleil est de +330°11'53'' qui correspond, à 11 minutes d'arc près, à la position 0° ♓ du calendrier zodiacal de la volvelle.
④ La déclinaison du Soleil -11°28'44'' correspond à la parallèle de déclinaison interceptée par le fil à plomb du Trigonus.
⑤ La hauteur (ou altitude) du Soleil est de +27°26'59.1''
Les données fournies par le logiciel Cartes du Ciel sont conformes à celles obtenues avec l'instrument.
Nous remarquons que l'angle horaire du Soleil donné par Cartes du Ciel correspond à l'heure de la volvelle. Les arcs horaires de celle-ci expriment la marche journalière du Soleil en temps solaire vrai. La différence de plus de 16 minutes entre l'heure de l'instrument (10h) et l'heure de la montre (10h16m24s TU) exprime l'équation du temps, différence entre la marche vrai du Soleil et sa marche moyenne adaptée pour mesurer le temps de nos montres. Nous reviendrons plus tard, à la cinquième proposition, sur ces différentes notions concernant la mesure du temps que sont le temps solaire vrai, le temps moyen, l'angle horaire, l'équation du temps etc..


Quelques détails sur la construction de l'instrument

Pour réaliser son instrument, Pierre Apian a utilisé une projection orthographique de la sphère céleste sur le plan méridien appelée analemme. Dans le premier chapitre de son ouvrage « De l'analemme aux cadrans de hauteur », Yvon Massé en fournit le détail complet. En voici le résumé :

volv50 Partons du triangle sphérique de position constitué sur la sphère céleste locale par le pôle Nord céleste P, le zénith du lieu Z et l'astre S, ici le Soleil.
Le méridien du lieu d'observation forme le plan de la figure. C'est le grand cercle passant par l'axe des pôles célestes et la verticale du lieu ZN (zénith-nadir).

Les trois côtés du triangle sphérique sont :
• l'arc PS, distance polaire p du Soleil avec p = 90° – δ
• l'arc PZ, colatitude θ du lieu avec θ = 90° – φ
• l'arc ZS, distance zénithale z du Soleil avec z = 90° – h

Dans l'exemple ci-dessus du 19 février ou du 24 octobre, avec une hauteur mesurée du Soleil de 27,5°, une déclinaison δ = –11°28' et une latitude φ de 45° on obtient :
• p = 90° – δ = 90° + 11°28' = 101° 28'
• θ = 90° – φ = 90° – 45° = 45°
• z = 90° – h = 90° – 27,5° = 62,5°
L'angle horaire H du Soleil est donné par l'angle ∠ZPS.

Nous pouvons maintenant construire la projection géométrique, l'analemme, qui va permettre, comme l'écrit Yvon Massé « de déplier le triangle sphérique sur le plan du méridien ».

L'orientation de la construction reprend celle de l'instrument

volv51 • Traçons le cercle méridien de centre O
• Plaçons le point zénith Z sur le cercle méridien
• Ensuite, traçons le point pôle Nord céleste P tel que l'angle
∠ZOP = θ = 90° – φ = 45°.
• Puis traçons les segments [OZ] et [OP] que nous prolongeons pour obtenir la verticale ZN du lieu et l'axe des pôles PP'.
• Nous pouvons tracer également la ligne horizon perpendiculaire à ZN et l'équateur celeste perpendiculaire à PP'.
• Plaçons le point So_h tel l'angle
∠ZOSo_h = z = 90° – h = 62,5°.
• Puis traçons la corde [So_h,So'_h] perpendiculaire à la verticale ZN. Ce segment représente l'almucantarat du Soleil de 27,5° de hauteur. Nous avons vu que sur l'instrument de papier, le fil à plomb du Trigonus matérialise cet almucantarat.
• Ensuite, traçons le point So_δ tel que l'angle
∠ZOSo_δ = p = 90° – δ = 101° 28'.
• Nous pouvons tracer la corde [So_δ,So'_δ] perpendiculaire à l'axe des pôles pour obtenir la parallèle de déclinaison δ = – 11° 28'.
✔ Chaque élément du triangle sphérique de position a été projeté orthogonalement sur le plan méridien. Le triangle sphérique a été ainsi déplié.
✔ La projection de la position du Soleil se trouve à l'intersection des cordes [So_h,So'_h] et [So_δ,So'_δ] au point S'.

volv52 Pour finaliser la construction de la figure et calculer l'angle horaire H du Soleil, nous allons procéder au rabattement de la parallèle de déclinaison δ = – 11° 28'.
• Plaçons le point Q à l'intersection de la ligne des pôles célestes PP' et de la corde [So_δ,So'_δ] qui constitue, comme nous l'avons vu, la parallèle de déclinaison δ = – 11° 28'.
• Du centre Q, traçons le demi-cercle de diamètre So_δ,So'_δ.
Nous venons de rabattre par rotation la parallèle de déclinaison δ = – 11° 28'.
• Puis du point S', élevons une droite perpendiculaire à la corde [So_δ,So'_δ] en direction du demi-cercle So_δ,So'_δ.
• Le point d'intersection entre cette perpendiculaire et le demi-cercle So_δ,So'_δ permet d'obtenir la position du Soleil S sur la parallèle de déclinaison que nous venons de rabattre.
• L'angle horaire H du Soleil est calculé depuis le point So'_δ, point situé sur le méridien supérieur (côté Sud) et correspond à l'angle ∠SQSo'_δ.
✔ La mesure de l'angle ∠SQSo'_δ calculée par Geogebra est de 29,6384°. La conversion en heures donne : 29,6384°/15° = 1h 58m 33s.
✔ Étant donné que le point So'_δ marque sur le cercle méridien l'angle horaire 0 h, c'est à dire le midi solaire, nous pouvons calculer l'heure solaire t du point S : t S = 12h - 1h 58m 33s = 10h 1m 27s. Le résultat est très proche, à 1m27s près, de l'heure obtenue plus haut avec l'instrument.

La mesure de la hauteur méridienne du Soleil

Les manipulations de la troisième proposition illustrent une méthode de détermination de la latitude qui était utilisée au Moyen Âge et à la Renaissance aussi bien par les astronomes-astrologues que par les pilotes des navires sillonnant les océans.
Elle consiste à mesurer la hauteur du Soleil à sa plus haute culmination lors de son passage au méridien d'un lieu. Cette mesure est appelée mesure de la hauteur méridienne du Soleil, que nous noterons h m.

Une formule permet, à partir de cette mesure méridienne, de calculer la latitude d'un lieu : h m = 90° – φ + δ

volv23 Le cercle méridien H NordPZEH Sud forme le plan de la figure ci-contre.

Nous avons :

✔ h m = hauteur du Soleil lors de son passage méridien

✔ φ = latitude du lieu

✔ δ = déclinaison du Soleil ou hauteur du Soleil sur (ou sous) l'équateur céleste.

✔ 90° – φ = co-latitude θ

Pour déterminer la latitude d'un lieu, il suffit d'inverser les termes de la formule qui devient:

φ = 90° – h m + δ

Notons que c'est la distance zénithale du Soleil ou le complément 90° – h m de sa hauteur h qui sert à la mesure et non la hauteur elle-même.

volv24 Reprenons les paramètre de notre mesure du 19 février, mais avec la mesure de la hauteur du Soleil à son passage au méridien (cf. plus haut les données fournies par le logiciel Cartes du Ciel) :

✔ la hauteur méridienne h m du Soleil est de +33°37' (⑥ culmination) soit env. +33,6°

✔ la déclinaison δ du Soleil est de -11°28' (donc sous l'équateur céleste) soit env. -11,5°

Remplaçons les termes de la formule φ = 90° – h m + δ

φ = 90° – 33,6° + (–11,5°)
φ = 44,9°

La différence est de 0,9° soit 6' d'arc entre la latitude calculée avec les données de Cartes du Ciel et la latitude relevée sur l'instrument.


Le jour de l'équinoxe de printemps ou d'automne, lorsque la déclinaison du Soleil est nulle, la mesure de la hauteur méridienne h m du Soleil permet d'obtenir la latitude du lieu de l'observation. En effet, la formule φ = 90° – h m + δ se simplifie et revient à φ = 90° – h m

La quatrième proposition

prop4

Parce que l'étoile du pôle, auprès de laquelle s'arrête le point ou hauteur du monde immobile, n'est connu que par deux moyens, vous pourrez parvenir facilement à cette connaissance en la manière qui s'ensuit. Entendez par imagination une ligne droite des deux dernières étoiles du chariot, jusqu'à la plus prochaine étoile du pôle, laquelle est appelée des maronniers (hommes de la mer, mariniers) l'étoile de la mer, et des Astrologiens Alrukaba (une des nombreuses dénominations de l'étoile Polaire). La figure et situation desdites étoiles, lesquelles sont semblables à un chariot, vous pouvez les voir en la figure qui s'ensuit. En laquelle la ligne produite par points montre l'étoile du pôle, non point qu'elle soit le vrai pôle, mais l'étoile la plus proche dudit pôle.

Ou autrement :

Mettez le compas ou quadrant (duquel usent ceux qui vont en chemin) comme l'on a coutume, et si vous étendez la vue au long du fillet ou languette dudit compas jusqu'au firmament, vous trouverez avec les rays de votre vue le pôle septentrional, lequel est autrement dit Arcticus, Borealis, ou Aquilonatius, sur lequel le monde se tourne. Et le vrai pôle du monde est le point qu'on imagine, sans le pouvoir comprendre par quelque sens de nature, auprès duquel la susdite étoile se remue et fait son cours à l'entour.

La quatrième proposition explique deux méthodes pour repérer l'Étoile polaire ou la Polaire (Polaris), α Ursae minor, l'étoile principale de la constellation de la Petite Ourse.

① La première méthode décrit un procédé de repérage de la Polaire, bien connu des astronomes amateurs, à l'aide d'une ligne virtuelle menée depuis deux étoiles de la constellation de la Grande Ourse, Merak et Dubhe, β et α Ursae majoris, (duabus stellis maioris Ursae). La première étoile brillante se trouvant à proximité de cette ligne est l'Étoile polaire (magnitude visuelle ≈ 2). La gravure illustrant la quatrième proposition représente Ursae major sous deux formes populaires, la Grande Ourse et le Grand Chariot (plaustrum) appelée également Grande Casserole. Notez la présence d'Alcor, compagnon de l'étoile Mizar, ζ Ursae majoris, bien visible à l'oeil nu.
② La deuxième méthode requiert l'usage d'un compas (compassus), instrument présent sur la gravure ci-dessous.

L'étoile Polaire ou Alpha Polaris
ursa1

Source : http://library.si.edu/digital-library/book/cosmographicusl00apia - folio 21

ursa2

Source : Cartes du Ciel - http://www.ap-i.net/skychart/fr/start

Pour un observateur de l'hémisphère boréal, l'étoile Polaire semble être le centre de la ronde des étoiles. Vers l'an 1500, La Polaire était à environ 3,5° d'arc de l'axe de rotation de la Terre projeté dans l'espace. De nos jours, elle se trouve à moins d'un degré d'arc (45' d'arc) de celui-ci. Du fait principalement de la précession des équinoxes, elle s'en rapprochera au plus près en 2100 (env. 36' d'arc).
Reconnaître l'étoile polaire dans le ciel de l'hémisphère Nord permet à un observateur de situer immmédiatement les points cardinaux de son lieu d'observation. Pour les navigateurs de la Renaissance, la Polaire constituait un repère capable de fournir la latitude. Nous avons vu, au huitième chapitre, l'instrument de papier demontrant l' égalité de la latitude et de la hauteur du Pôle nord céleste sur l'horizon. Tant que l'étoile polaire était visible, au-dessus de l'équateur, le calcul de la latitude était possible moyennant quelques corrections à apporter lors de la mesure de sa hauteur (la Polaire n'est pas exactement au centre de rotation de la sphère céleste).

La cinquième proposition

prop5

La manière comment on pourra savoir l'heure usuelle du jour par les rayons du soleil, ayant la hauteur du pôle selon qu'il a été démontré aux propositions susdites, ou prise la hauteur sur la table des régions et pays (calcul de la latitude par mesure directe ou relevée sur des tables de latitude). 1) Mettez l'index de la roue qui tourne sur les degrés de la hauteur dudit pays ou lieu, et attachez ladite roue par dessous avec de la cire, afin que ledit index demeure toujours en cette région à ladite hauteur (mise en station de l'instrument par réglage de la latitude). Ce fait, 2) haussez le livre avec la figure jusqu'à ce que le filet du C (symbole repère du fil à plomb de la languette horizon) pende sur le perpendicle imprimé à la figure. (mise à niveau de l'instrument). Après, 3) élevez et adressez le pinnacide contre les rayons du soleil à angle droit. Et haussez et abaissez le trigonum ou triangle mis au devant du soleil, jusqu'à ce que l'ombre du pinnacide tombe sur les lignes de l'ombre (Linea vmbra de la languette du Trigonus) : ayant toujours regard au perpendicle imprimé et voyant 4) l'entretaillement du filet et des lignes parallèles menées et guidées des degrés du soleil à l'arc des heures, vous montrera clairement l'heure et les minutes, ou quartiers des heures, soit avant ou après midi, selon que le temps le requiert. (lecture de l'heure par l'intersection du fil à plomb du Trigonus sur l'arc des heures du disque mobile et du parallèle du jour concerné du calendrier zodiacal).

• Pour le calcul de l'heure, la latitude du lieu d'observation et la longitude écliptique λ du Soleil sont nécessaires.
1) Rotation de l'index pôle Nord du disque mobile sur le quart de cercle gradué du support de l'instrument afin d'afficher la latitude du lieu. Immobilisation du disque mobile avec un point de cire. La latitude peut être déterminée par la méthode enseignée à la troisième proposition ou obtenue à l'aide de tables de latitude.
2) Mise à niveau de l'instrument.
3) Mesure de la hauteur du Soleil.
4) Lecture de l'heure sur l'arc horaire du disque mobile au point d'intersection du fil à plomb du Trigonus et du parallèle de déclinaison du jour concerné.

C'est la fonction montre solaire de l'instrument qui est détaillée dans cette proposition. À partir de quelques éléments de départ, l'heure vraie solaire est facilement obtenue.

Détermination de l'heure pour un jour et une latitude connu

La figure suivante propose une observation de la hauteur du Soleil côté Ouest le 13 août pour un lieu de 35° de latitude.

✔ La hauteur du Soleil sur l'horizon est égale à 22°
✔ Le 13 août, le Soleil se trouve dans la constellation du Lion, sur la ligne parallèle de déclinaison 20° ♌
✔ L'heure vraie solaire obtenue est proche de l'arc horaire correspondant à 5h

Comparons les données fournies par le logiciel Cartes du Ciel à la date du 13 août pour une latitude de 35°:

cdc2 ① L'heure est 17h00m07s en Temps Universel soit 19h00m07s à l'heure légale civile

② L'angle horaire du Soleil est 4h52m44s. C'est l'heure vraie solaire fournie par l'instrument

③ La longitude écliptique du Soleil est de +140°38'03'', elle correspond à la position 20° ♌ du calendrier zodiacal de l'instrument.

④ La déclinaison du Soleil +14°40'46'' correspond à la parallèle de déclinaison interceptée par le fil à plomb du Trigonus.

⑤ La hauteur (ou altitude) du Soleil est de +22°00'08,8''

Les données fournies par le logiciel Cartes du Ciel confirment une nouvelle fois celles obtenues avec l'instrument.
La longitude écliptique est d'environ 140°. Elle s'accorde bien à la position 20° ♌ du calendrier zodiacal. (140° = 120° à l'entrée du signe Lion + 20° au 13 août).
Enfin, l'angle horaire du Soleil correspond à l'heure lue sur la volvelle et non l'heure de la montre qui est d'environ 19h.

À propos du temps qui passe...

L'heure fournie par l'instrument de papier et plus généralement par les cadrans solaires est lheure solaire vraie : elle exprime la marche du Soleil dans sa ronde journalière. Lorsque il est midi vrai solaire, le Soleil culmine au méridien côté Sud et son angle horaire H vrai est égal à 0 h. Par convention, le midi vrai solaire correspond à 12 heures :
Heure solaire vraie = 12 heures + H vrai
Un jour vrai solaire est donc la durée qui sépare deux passages consécutifs du Soleil au méridien supérieur. Mais du fait de la non-uniformité du mouvement du Soleil sur l'écliptique, la durée du jour solaire varie, au cours de l'année, de 23h59m39s à 24h00m30s. L'heure solaire vraie ne peut donc être utilisée pour régler notre temps journalier. C'est pourquoi, l'heure de nos montres est réglée sur un temps moyen d'une durée journalière de 24 heures (1s=1/86400 jour solaire moyen).

Sur l'exemple utilisé ci-dessus, le fil à plomb du Trigonus est à proximité de l'arc horaire correspondant à 5h de l'après-midi. Comparons cette heure avec les données horaires fournies par Cartes du Ciel, à la rubrique «Visibilité de l'observatoire».
Elles sont au nombre de trois:

① 19h00m07s (CEST)
C'est l'heure légale, celle de nos horloges. L'acronyme CEST (Central European Summer Time ou Heure d'été d'Europe Centrale) indique ici que le fuseau horaire du lieu de l'observation est en avance de 2 heures par rapport au temps universel coordonnée (UTC). C'est l'heure d'été. Le reste de l'année, le fuseau horaire du lieu de l'observation est en avance de 1 heure par rapport au temps universel et l'acronyme devient CET pour Central European Time ou Heure de l'Europe Centrale.
Temps légal = Temps Universel + Heure Été ou Heure Hiver
② Temps Universel: 17h00m07s
Le temps universel (TU) est le temps local au méridien de Greenwich, méridien utilisé comme référence pour la détermination des 24 fuseaux horaires qui règlent la marche de nos horloges.
C'est un temps moyen calculé sur le mouvement uniforme d'un Soleil moyen sur l'équateur céleste et réglé sur le passage du Soleil moyen au méridien: son angle horaire H moyen est alors égal 0 h.
Par convention, pour faire débuter le jour à minuit, l'angle horaire du Soleil moyen est augmenté de 12 heures.
Temps universel = 12h + H moyen
③ Angle horaire: 4h52m44s
L'angle horaire H vrai du Soleil est l'angle que fait le cercle horaire du Soleil avec le méridien du lieu côté Sud. Cet angle fournit le temps vrai solaire. Du fait des fluctuations du mouvement du Soleil sur l'écliptique, il est différent de l'angle horaire du Soleil moyen H moyen. Cette différence s'appelle l'équation du temps E(t) et s'exprime par la formule suivante:
E(t) = H moyen - H vrai
Le midi en temps solaire vrai et le midi en temps solaire moyen ne coïncident que 4 fois dans une année. Le reste du temps, l'équation du temps varie de +15 à -16 minutes.

Dans notre exemple, entre l'heure donnée en temps universel 17h00m07s et l'angle horaire 4h52m44s, il existe une différence de 12h 7m 23s qui s'explique par l'addition de plusieurs facteurs: l'équation du temps, la différence en degrés de longitude entre le méridien de Greenwich et le méridien du lieu d'observation et les 12 heures additionnées à l'angle horaire du Soleil moyen pour obtenir le temps universel.

L'angle horaire du Soleil moyen H moyen est égal à:

H moyen = Temps universel – 12h
H moyen = 17h00m07s – 12h = 5h00m07s

La longitude λ du lieu d'observation est 0°37' 51'' Ouest, et se trouve après le méridien de Greenwich, donc λ > 0

0°37'51'' = 0,630833.. x 60/15 = 2,523.. soit ≈+ 2mn 31s

Le 13 août l'équation du temps est égale à +4m52s

E(t) = +4m52s

La formule pour calculer l'heure vraie solaire est:

H vrai = H moyen – E(t) – λ

Ce qui nous donne:

H vrai = 5h00m07s – 4m52s – 2mn 31s = 4h52m44s
H vrai = 4h52m44s

Nous retrouvons bien l'angle horaire fournie par Cartes du Ciel.

Pour des explications complètes concernant le temps, voir la page Rotation et révolution de la Terre : Échelles du temps sur le site de L'Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides (IMCCE) et de l'Observatoire de Paris.

La sixième proposition

prop6

Si vous voulez trouver facilement à quelle heure se lève et se couche le soleil par tout le monde où il vous plaira. 1) Mettez l'index de la roue sur l'élévation de la hauteur du pôle du pays ou ville (réglage de la latitude), à laquelle vous voulez savoir le temps du soleil levant et couchant, 2) procédez selon la ligne parallèle menée du degré du soleil noté au début près des douze heures, jusqu'à la ligne de l'horizon (détermination du point d'intersection de la ligne choisie du calendrier zodiacal avec la languette Horizon), et 3) la ligne parallèle à l'endroit où elle touche l'horizon, entre les lignes des heures vous montrera quant le soleil se lève et quant le soleil se couche audit pays (lecture de l'heure de lever ou coucher de Soleil)..

Détermination de l'heure du lever et du coucher de Soleil pour n'importe quel jour de l'année à une latitude connue
1) Rotation de l'index pôle Nord du disque mobile sur le demi-cercle gradué du support de l'instrument afin d'afficher la latitude d'un lieu
2) Choix d'une ligne parallèle de déclinaison du Soleil
3) Lecture de l'heure de lever ou du coucher de soleil définie par le point d'intersection de la ligne parallèle et de la languette horizon. Ce point est projeté sur les arcs horaires du disque mobile. Les heures du matin sont lues sur la partie inférieure du disque mobile nommée Horae Antemeridianae et les heures de l'après midi sur la partie supérieure nommée Po(st)Meridianae.

Le démontage du Trigonus facilite la manipulation de l'instrument et la lecture des heures sur le disque mobile.

✔ Par rotation du disque mobile, une latitude comprise entre 0 et 90° Nord est choisie.
✔ La zone de lecture se situe entre la languette Horizon et le Zénith.
✔ L'arc horaire situé au plus proche du point d'intersection de la parallèle de déclinaison (le jour considéré) et de la languette Horizon fournit l'heure de lever ou de coucher du Soleil.
✔ L'heure du lever de Soleil est lue sur la partie Sud du disque mobile (Horae Antemeridianae) et l'heure du coucher sur la partie Nord (Horae Po(st)Meridianae).

À partir de cette proposition, l'instrument est utilisé sans mesure directe de la hauteur du Soleil ou de l'heure. Les manipulations concernent la résolution de problèmes liés au Soleil comme ici la variation de l'heure de ses levers et de ses couchers au cours de l'année, selon la latitude d'un lieu d'observation toujours située dans l'hémisphère nord. Le discours reste résolument pratique, le lecteur étant toujours sollicité par les diverses manipulations de l'instrument proposées par Pierre Apian. Seulement celles-ci peuvent se réaliser simplement sur sa table de travail...

La détermination de l'heure des levers et des couchers en pratique

Sur les figures suivantes, pour faciliter la lecture de l'heure, le Trigonus a été supprimé et le calque de la languette Horizon rendu légèrement transparent.

Latitude φ = 48° Nord

✔ Le jour du solstice d'Été, le 21 juin (0° ♋), le Soleil se lève à 4 heures le matin et se couche 20 heures le soir.
✔ Le 30 avril (10 ° ♉) ou le 13 août (20° ♌), le Soleil se lève peu avant 5 heures le matin et se couche peu après 19h le soir.
✔ À l'équinoxe de printemps, le 21 mars 0° ♈ ou à l'équinoxe d'automne, le 23 septembre 0° ♎, le Soleil se lève à 6 heures le matin et se couche à 18h le soir.
✔ Le jour du solstice d'Hiver, 21/22 décembre (0° ♑), le Soleil se lève un peu avant 8 heures le matin et se couche un peu après 16h le soir.

Latitude φ = 0°

✔ À l'équateur (φ = 0°), le Soleil se lève tous les jours de l'année à 6h le matin, et se couche à 18h le soir.

Latitude φ = 90° Nord

✔ Au pôle Nord (φ = 90°), dès l'équinoxe de printemps (0° ♈), le Soleil reste au dessus de l'horizon pendant 6 mois
✔ À l'équinoxe d'automne (0° ♎), la situation s'inverse, le Soleil reste sous l'horizon pendant 6 mois.
✔ Dans les 2 cas, il n'y a ni lever ni de coucher de Soleil.

Latitude φ = 68°34' Nord

✔ Dans la zone polaire boréale, la latitude φ est ⩽ 90° - ε. Dans l'exemple ci-dessus φ = 68°34'
✔ Le jour du solstice d'été, le 21 juin (0° ♋), le Soleil reste sur l'horizon toute la journée. Il n'y a ni lever ni coucher.
✔ Le 30 avril (10 ° ♉) ou le 13 août (20° ♌), le Soleil se lève après 3h le matin et se couche avant 21h le soir.
✔ À l'équinoxe de printemps, le 21 mars 0° ♈ ou à l'équinoxe d'automne, le 23 septembre 0° ♎, le Soleil se lève à 6 heures le matin et se couche à 18h le soir.
✔ Le jour du solstice d'Hiver, 21/22 décembre (0° ♑), le Soleil reste sous l'horizon toute la journée. De même qu'au solstice d'été, il n'y a ni lever ni coucher.

✔ Pour les lieux de latitude situés entre ε < φ < 90° - ε, le Soleil se lève et se couche tous les jours de l'année à des heures différentes.
✔ À l'équateur (φ = 0°), le Soleil se lève à 6 heures du matin et se couche à 18 heures le soir tous les jours de l'année.
✔ Au pôle Nord (φ = 90° Nord), il n'y a ni lever ni coucher de Soleil au cours de l'année. En fonction de sa déclinaison δ positive ou négative, il reste 6 mois au dessus ou au dessous de l'horizon.
✔ Pour les latitudes boréales φ ⩽ 90° - ε, au cours de l'année, le Soleil se lève et se couche mais peut rester aussi au-dessus ou au-dessous de l'horizon en fonction de sa déclinaison δ positive ou négative.
✔ Lors de l'équinoxe de printemps ou d'automne, la durée du jour est égale à celle de la nuit en tout point de la Terre, valant 12 heures chacune.

Le calcul des heures de levers et de couchers du Soleil

Une formule de trigonométrie sphérique utilise la relation qui existe entre la latitude φ et la déclinaison δ du Soleil pour déterminer, par le calcul, l'heure de ses levers et de ses couchers. Il s'agit de lever et de coucher théorique c'est à dire l'instant où le centre du Soleil apparaît à l'horizon d'un lieu, sans tenir compte de la réfraction.
Voici les formules:

✔ pour l'heure du lever du Soleil
cos(– Heure Lever) = – tg φ x tg δ
✔ pour l'heure du coucher du Soleil
cos(Heure Coucher) = – tg φ x tg δ
‣ Le résultat trouvé s'exprime en degrés.
‣ Pour convertir en heure, comme 1 heure = 15°, il suffit de diviser par 15° le résultat obtenu

Reprenons les latitudes Nord 48° et 66°34' des exemples précédents, avec pour valeur de l'obliquité de l'écliptique

ε = 23°26'

Le 30 avril, le Soleil se trouve en 10 ° ♉ soit longitude écliptique λ = 40°
(les 30° du signe du Bélier + les 10° du signe du Taureau)

Latitude φ = 48° Nord

Calculons la déclinaison du Soleil le 30 avril à partir de sa longitude écliptique avec la formule:

sin(δ) = sin(λ) x sin(ε)
sin(δ) = sin(40°) x sin(23°26')
δ = + 14° 48' 38''

Nous pouvons maintenant calculer l'heure théorique du lever et du coucher du Soleil le 30 avril:

cos(– Heure Lever) = – tg φ x tg δ
cos(– Heure Lever) = – tg(48°) x tg(+14° 48' 38'')
Heure Lever = 72°55'27'' soit 4h51m42s
cos(Heure Coucher) = – tg φ x tg δ
cos(Heure Coucher) = – tg(48°) x tg(+14° 48' 38'')
Heure Coucher = 107°04'33'' soit 7h08m18s + 12h = 19h08m18s

✔ L'addition des 2 résultats 4h51m42s et 7h08m18s est égale à 12 heures
Les instants du lever et du coucher sont symétriques par rapport au méridien côté Sud

Nous avions obtenu avec l'instrument :
pour le lever peu avant 5 heures le matin et pour le coucher peu après 19 heures le soir.

Latitude φ = 68°34' Nord

Nous connaissons la déclinaison du Soleil le 30 avril :

δ = + 14° 48' 38''

Nous pouvons maintenant calculer l'heure théorique du lever et du coucher du Soleil le 30 avril:

cos(– Heure Lever) = – tg φ x tg δ
cos(– Heure Lever) = – tg(68°34') x tg(+14° 48' 38'')
Heure Lever = 47°39'45'' soit 3h10m39s
cos(Heure Coucher) = – tg φ x tg δ
cos(Heure Coucher) = – tg(68°34') x tg(+14° 48' 38'')
Heure Coucher = 132°20'15'' soit 8h49m21s + 12h = 20h49m21s

✔ L'addition des 2 résultats 3h10m39s et 8h49m21s est égale à 12 heures
Les instants du lever et du coucher sont symétriques par rapport au méridien côté Sud

Nous avions obtenu avec l'instrument :
pour le lever après 3 heures le matin et pour le coucher avant 21 heures le soir.

Les heures trouvées avec l'instrument sont très proches des résultats obtenus avec le calcul.

Avec de la pratique et un peu plus de précision, la lecture de l'heure sur l'instrument devrait être améliorée.

La septième proposition

prop7

Pour compter en bref la longueur des jours et des nuits artificiels, 1) ayant posé le point du soleil levant et du soleil couchant selon la droite hauteur du pôle, comme il vous a été montré en la proposition ci-dessus décrite (méthode décrite à la sixième proposition). 2) Comptez les heures dudit point et les parties desdites jusqu'à 12 heures. Et vous aurez la moitié du jour. (décompte des heures du matin sur le repère des Horae Antemeridianae) 3) Et si vous doublez ledit nombre des heures, depuis le point du soleil levant jusqu'à l'heure du midi, vous aurez la longueur de l'entier jour artificiel. Lequel espace est la demeure que le soleil fait depuis qu'il se lève sur le plus haut hémisphère, jusqu'à ce que ledit soleil se couche (La multiplication par deux du décompte des heures calculées donne la durée du jour. La symétrie du levant et du couchant par rapport à midi solaire explique la simple multiplication). 4) Et pour savoir la longueur de la nuit, il ne faut que soustraire de 24 heures, les heures depuis le soleil levant jusqu'au soleil couchant. Et ce qui demeure, est le temps que le soleil détient depuis qu'il se couche, jusqu'à ce qu'il se lève et occupe l'hémisphère ou demi-cercle du monde non-vu, et ce temps est la longueur de la nuit (la soustraction de la durée de jour calculée à 24 heures donne la durée de la nuit).

Calcul de la durée du jour et de la nuit pour n'importe quel jour de l'année à une latitude connue
1) Même procédure que pour les points 1, 2 et 3 de la sixième proposition
2) Décompte du nombre d'heures depuis la languette Horizon jusqu'à l'arc horaire des 12h sur la partie inférieure du disque mobile Horae Antemeridianae
3) La multiplication par 2 du nombre d'heures trouvées fournit la durée totale du jour.
4) La soustraction de la durée trouvée à 24h permet de connaître la durée de la nuit

Après le calcul des heures de lever et de coucher du Soleil, la septième proposition permet de calculer la durée des jours et des nuits pour n'importe quel lieu et date d'observation.

Même procédure utilisée lors de la sixième proposition pour la latitude et le choix de la déclinaison.

✔ Choix d'une latitude par rotation du disque mobile
✔ La zone de lecture se situe sur la partie Horae Antemeridianae du disque mobile, entre la languette Horizon et l'arc horaire des 12 heures.
✔ Décompte du nombre t des heures entre le point d'intersection de la parallèle de déclinaison (le jour choisi) et de la languette Horizon jusqu'à l'arc horaire des 12 heures
t = nombre d'heures depuis le lever du Soleil jusqu'à l'arc des 12 heures
✔ Multiplication du nombre d'heures t obtenues par 2 pour calculer la durée du jour considéré
‣ Durée Jour = t x 2
✔ Soustraction de la durée du jour à 24 heures pour calculer la durée de la nuit
‣ Durée Nuit = 24h – Durée Jour
La détermination de la durée des jours et des nuits en pratique

Le démontage du Trigonus et de la languette Horizon facilite la manipulation.

Reprenons l'exemple d'un lieu de latitude φ = 48° Nord

✔ Le jour du solstice d'Été, le 21 juin (0° ♋), du lever du Soleil à l'arc horaire des 12 heures, on compte 8 heures.

Durée Jour = t x 2 = 8h x 2 = 16 heures
Durée Nuit = 24h – 16h = 8 heures

✔ Le 30 avril (10 ° ♉) ou le 13 août (20° ♌), du lever du Soleil à l'arc horaire des 12 heures, on compte 7 heures 10 minutes

Durée Jour = t x 2 = 7,167h x 2 = 14 heures 20 minutes
Durée Nuit = 24h – 14,334h = 9 heures 40 minutes

✔ À l'équinoxe de printemps, le 21 mars 0° ♈ ou à l'équinoxe d'automne, le 23 septembre 0° ♎, du lever du Soleil à l'arc horaire des 12 heures, on compte 6 heures

Durée Jour = t x 2 = 6h x 2 = 12 heures
Durée Nuit = 24h – 12h = 12 heures

✔ Le jour du solstice d'Hiver, 21/22 décembre (0° ♑), du lever du Soleil à l'arc horaire des 12 heures, on compte 4 heures

Durée Jour = t x 2 = 4h x 2 = 8 heures
Durée Nuit = 24h – 8h = 16 heures

D'un solstice à l'autre, les durées s'inversent, et aux équinoxes, la durée du jour et de la nuit sont équivalentes.

Le calcul de la culmination et de l'azimut des levers et couchers de Soleil

La figure suivante montre le trajet apparent du Soleil, pour la latitude 48° Nord, aux solstices et aux équinoxes.

volv31

Pour un observateur situé au centre O du cercle horizon:

✔ Au solstice d'hiver, lorsque le Soleil parcours le tropique du Capricorne, la durée du jour est la plus courte de l'année et la durée de la nuit la plus longue
✔ Aux équinoxes, lorsque le Soleil parcours l'équateur céleste, la durée du jour et la durée de la nuit sont égales
✔ Au solstice d'été, lorsque le Soleil parcours le tropique du Cancer, la durée du jour est la plus longue de l'année et la nuit la plus courte

Nous allons utiliser 2 formules pour décrire les mouvements saisonniers du Soleil. Le calcul portera sur la hauteur méridienne du Soleil (midi solaire vrai) et son azimut de lever et de coucher.

L'azimut Az du Soleil est l'angle formé par le vertical du Soleil avec le cercle méridien du lieu côté Sud. Compté dans le sens rétrograde (sens des aiguilles de la montre), cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('') de 0 à 360°. Il se compte aussi de 0 à ∓180°, positivement vers l'Ouest et négativement vers l'Est, ce que nous conviendront d'utiliser ici.

Nous savons calculer la hauteur méridienne h m du Soleil, à son passage au méridien coté Sud, à l'aide de la formule:

h m = 90° – φ + δ

De même, nous pouvons calculer l'azimut Az de son lever et de son coucher en utilisant la formule suivante de trigonométrie sphérique :

cos Az = - sin δ / cos φ

Reprenons les positions du Soleil de l'exemple ci-dessus à une latitude de 48° Nord, en commençant pour l'équinoxe de printemps:

✔ Le 21 mars, à l'équinoxe de printemps, le Soleil occupe la position 0° ♈

‣ avec une longitude écliptique λ = 0°
‣ avec une déclinaison δ = 0° (il croise l'équateur céleste)
‣ Sa hauteur méridienne est:
‣ h m = 90° – φ + δ
‣ h m = 90° – 48° + 0°
‣ h m= 42°

Le jour du printemps, le Soleil se lève plein Est, soit Az Lever = –90° et se couche plein Ouest soit Az Coucher = +90°.
La durée du jour et de la nuit sont égales et valent 12 heures chacune.

À l'équinoxe d'automne, la situation est identique mise à part la longitude écliptique qui est de 180°

✔ Le 30 avril, le Soleil occupe la position 10° ♉

‣ avec une longitude écliptique λ = 40°
‣ avec une déclinaison δ = + 14°49'
‣ Sa hauteur méridienne est:
‣ h m = 90° – φ + δ
‣ h m = 90° – 48° + 14°49'
‣ h m= 56°49'
‣ L'azimut du lever et du coucher de Soleil est :
‣ cos Az = – sin δ / cos φ
‣ cos Az = – sin(+14°49') / cos(48°)
Az = 180° – cos –1 Az
‣ Az Lever = – 112°28' et Az Coucher = + 112°28'

La durée du jour augmente, le Soleil reste plus longtemps au-dessus de l'horizon
Il se lève à l'est et se couche à l'ouest un peu plus en direction du nord (22°)

✔ Le 21 juin, le jour du solstice d'été, le Soleil occupe la position 0° ♋

‣ avec une longitude écliptique λ = 90°
‣ avec une déclinaison δ = + 23°26'
‣ Sa hauteur méridienne est:
‣ h m = 90° – φ + δ
‣ h m = 90° – 48° + 23°26'
‣ h m= 65°26'
‣ L'azimut du lever et du coucher de Soleil est :
‣ cos Az = – sin δ / cos φ
‣ cos Az = – sin(+23°26') / cos(48°)
Az = 180° – cos –1 Az
‣ Az Lever = – 126°28' et Az Coucher = + 126°28'

La durée du jour est maximale, le Soleil est au plus haut pour cette latitude.
Mais c'est aussi la nuit la plus courte de l'année.
Le Soleil se lève à l'est et se couche à l'ouest au maximun en direction du nord (36°)

✔ Le 21/22 décembre, le jour du solstice d'hiver, le Soleil occupe la position 0° ♑

‣ avec une longitude écliptique λ = 270°
‣ avec une déclinaison δ = – 23°26'
‣ Sa hauteur méridienne est:
‣ h m = 90° – φ + δ
‣ h m = 90° – 48° – 23°26'
‣ h m= 18°34'
‣ L'azimut du lever et du coucher de Soleil est :
‣ cos Az = – sin δ / cos φ
‣ cos Az = – sin(–23°26') / cos(48°)
Az = 180° – cos –1 Az
‣ Az Lever = – 53°32' et Az Coucher = + 53°32'

La durée du jour est minimale, le Soleil est au plus bas pour cette latitude.
Mais c'est aussi la nuit la plus longue de l'année.
Il se lève à l'est et se couche à l'ouest au maximun en direction du sud (36°)

La figure suivante résume les résultats obtenues, pour une latitude de 48°N, de la sixième et septième proposition.

La huitième proposition

prop8

Pour trouver avec ledit instrument le point du jour ou de l'aube et le vêpre (le soir) qu'on appelle communèment entre le chien et le loup. L'aube ou point du jour, qu'on appelle en latin crespuculum matutinum, est le temps entre le clair jour et la nuit, quand l'air commence à reluire, mais le soir quand le soleil se retire et la nuit commence à venir, ce temps est appelé crespuculum vespertinum, lequel est (comme dit ici) entre le chien et le loup. Veuillant donc du commencement savoir le temps et l'heure de l'aube du matin, ou du soir, 1) prenez le degré du soleil au zodiaque sous l'horizon, et faites une ligne parallèle de ce zodiaque jusqu'à l'attouchement de la ligne crepusculine (linea crepusculina de la languette horizon) et l'attouchement ensemble desdites lignes (ayant regard aux heures), 2) vous montreront le point du jour, et la fin du jour au soir car les heures du devant midi vous montreront l'aube, et les heures après midi le vêpre ou point et commencement de la nuit.

Calcul de l'heure et de la durée de l'aube et du crépuscule pour n'importe quel jour de l'année à une latitude connue
1) Même procédure que pour les points 1, 2 et 3 de la sixième proposition
2) Pour le jour considéré, la lecture du début du crépuscule correspond à l'heure du coucher du Soleil à gauche de la languette Horizon sur la partie Horae Po(st)Meridianae du disque mobile et la fin du crépuscule à l'heure donnée à la droite de la languette Horizon. Par symétrie, le début de l'aurore est donnée en suivant le même arc d'heures projeté sur la partie Horae Antemeridianae du disque mobile.

La huitième proposition fournit la méthode de calcul de l'heure et de la durée de l'aube et du crépuscule au moyen de l'instrument.

Nous retrouvons les mêmes manipulations que lors des propositions précédentes:

✔ Choix d'une latitude par rotation du disque mobile et d'une ligne de parallèle de déclinaison.
✔ La zone de lecture se situe pour le début du crépuscule sur la partie Horae Pomeridianae et pour le début de l'aube sur la partie Horae Antemeridianae.
✔ Le crépuscule commence, dès l'instant du coucher du Soleil, sur l'arc horaire défini par l'intersection de la ligne parallèle de déclinaison considérée et de la languette Horizon côté 12 heures et finit sur l'arc horaire intercepté à la droite de la languette Horizon côté 24 heures.
✔ Par symétrie, le début de l'aube commence sur l'arc horaire défini par l'intersection de la parallèle de déclinaison et de la languette Horizon côté 24 heures et finit, dès l'instant du lever du Soleil, sur l'arc horaire intercepté par la languette Horizon côté 12 heures.

Le crépuscule est l'instant de la journée qui débute au coucher du Soleil et dure jusqu'au moment où la nuit noire s'installe. C'est le « le point du jour (...) qu'on appelle communèment entre le chien et le loup» ۠comme l'écrit Pierre Apian.
L'aube est exactement à l'inverse, l'instant situé entre la fin de la nuit noire et le lever du Soleil.

La cause du crépuscule est un phénomène de diffusion de la lumière solaire par l'atmosphère de la Terre.

On distingue plusieurs types de crépuscule:

✔ Le crépuscule civil qui correspond à une position du Soleil à moins de 6° au-dessous de l'horizon
✔ Le crépuscule nautique qui correspond à une position du Soleil à moins de 12° au-dessous de l'horizon
✔ Le crépuscule astronomique qui correspond à une position du Soleil à moins de 18° au-dessous de l'horizon À partir de cet instant, la nuit noire s'installe et les étoiles les plus faibles, sous un bon ciel, sont visibles à l'oeil nu. C'est celui qui sera utilisé avec la volvelle.

Comme nous le verrons sur la figure suivante, l'intersection de la languette Horizon et du disque mobile forme un angle de 18° correspondant au crépuscule astronomique. Ainsi, la largeur de la languette Horizon matérialise la durée du crépuscule ou de l'aube.

La détermination de l'heure et de la durée de l'aube et du crépuscule en pratique

Reprenons l'exemple utilisé à une latitude de 48° Nord.

✔ Le jour du solstice d'Été, le 21 juin (0° ♋),

‣ l'aube commence entre minuit et 1 heure du matin et finit à 4 heures au lever du Soleil
‣ Le crépuscule commence à 20 heures au coucher du Soleil et finit entre 23h et minuit
‣ La durée de l'aube et du crépuscule est supérieure à 3 heures

✔ Le 30 avril (10 ° ♉) ou le 13 août (20° ♌),

‣ l'aube commence vers 2h40m du matin et finit peu avant 5 heures au lever du Soleil
‣ le crépuscule commence peu après 19h au coucher du Soleil et finit vers 21h20
‣ la durée de l'aube et du crépuscule est comprise entre 2 et 3 heures

✔ À l'équinoxe de printemps, le 21 mars 0° ♈ ou à l'équinoxe d'automne, le 23 septembre 0° ♎,

‣ L'aube commence peu après 4 heures du matin et finit à 6 heures au lever du Soleil
‣ le crépuscule commence à 18 heures au coucher du Soleil et finit peu avant 20 heures
‣ la durée de l'aube et du crépuscule est inférieure à 2 heures

✔ Le jour du solstice d'Hiver, 21/22 décembre (0° ♑),

‣ l'aube commence peu avant 6 heures du matin et finit peu avant 8 heures au lever du Soleil
‣ le crépuscule commence peu après 16 heures au coucher du Soleil et finit peu avant 18 heures
‣ la durée de l'aube et du crépuscule est plus ou moins égale à 2 heures

Nous constatons que la durée de l'aube et du crépuscule sont variables au cours de l'année et selon les saisons, de la même façon nous que nous avons vu dans la proposition précédente que la durée des jours et des nuits étaient variables.

Le calcul de la durée de l'aube ou du crépuscule

Servons-nous une nouvelle fois de formules de trigonométrie sphérique pour affiner le calcul de la durée de l'aube ou du crépuscule pour la latitude φ = 48°.

Nous avons vu, à la sixième proposition, la formule de calcul des heures de levers et de couchers du Soleil:

✔ pour l'heure du lever du Soleil
cos(– Heure Lever) = – tg φ x tg δ
✔ pour l'heure du coucher de Soleil
cos(Heure Coucher) = – tg φ x tg δ

Voici maintenant la formule de calcul de la fin du crépuscule et du début de l'aube:

✔ cos(Heure Crépuscule) = [cos(z) – sin(δ) x sin(φ)] / cos(δ) x cos(φ)
Heure Crépuscule = (cos –1(Heure Crépuscule) / 15°) + 12h
Heure Aube = (cos –1(Heure Crépuscule) / 15°) – 12h
Où z est la distance zénithale du crépuscule astronomique -18°
z = 90° – (–18°) = 108°

✔ Le jour du solstice d'Été, le 21 juin (0° ♋) avec δ = + 23°26'

‣ Heure du lever: 4h04m54s
‣ Heure du coucher: 19h55m06s
‣ Heure du début de l'aube: 0h40m08s
‣ Heure de la fin du crépuscule: 23h19m52s
‣ Durée de l'aube = 4h04m54s – 0h40m08s = 3h24m46s
‣ Durée du crépuscule = 23h19m52s – 19h55m06s = 3h24m46s

✔ Le 30 avril (10 ° ♉) ou le 13 août (20° ♌) avec δ = + 14°48'38''

‣ Heure du lever: 4h51m42s
‣ Heure du coucher: 19h08m18s
‣ Heure du début de l'aube: 2h38m06s
‣ Heure de la fin du crépuscule: 21h21m54s
‣ Durée de l'aube = 4h51m42s – 2h38m06s = 2h13m36s
‣ Durée du crépuscule = 21h21m54s – 19h08m18s = 2h13m36s

✔ À l'équinoxe de printemps, le 21 mars 0° ♈ ou à l'équinoxe d'automne, le 23 septembre 0° ♎, δ = 0

‣ Heure du lever: 6h
‣ Heure du coucher: 18h
‣ Heure du début de l'aube: 4h09m59s
‣ Heure de la fin du crépuscule: 19h50m01s
‣ Durée de l'aube = 6h – 4h09m59s = 1h50m01s
‣ Durée du crépuscule = 19h50m01s – 18h = 1h50m01s

✔ Le jour du solstice d'Hiver, 21/22 décembre (0° ♑) avec δ = – 23°26'

‣ Heure du lever: 7h55m06s
‣ Heure du coucher: 16h04m54s
‣ Heure du début de l'aube: 5h57m45s
‣ Heure de la fin du crépuscule: 18h02m15s
‣ Durée de l'aube = 7h55m06s – 5h57m45s = 1h57m21s
‣ Durée du crépuscule = 18h02m15s – 16h04m54s = 1h57m21s

Les vérifications par le calcul confirment les relevés effectués sur l'instrument avec, cependant, une précision nettement supérieure

La neuvième proposition

prop9

Si vous voulez chercher la hauteur du soleil sans les rays dudit par toute élévation du pôle et heure du jour. 1) Mettez l'index ou montre de la roue sur le degré de l'élévation (réglage de la latitude) de laquelle vous voulez connaître ou chercher la hauteur des heures. Ainsi fait, 2) levez en haut le livre avec l'instrument, afin que le filet ou perpendicle du point C, comme il a été dit ci-dessus, soit droit au perpendicle imprimé. (orientation et mise à niveau du livre) 3) Après montez et abaissez la figure triangulaire ou Trigonom, jusqu'à ce que le filet du triangle pende sur l'heure que vous voulez et le degré du signe (choix d'une date sur le disque mobile avec le fil à plomb du Trigonus), et 4) comptez les degrés et minutes qui seront indiqués par l'index ou montre (lecture de l'heure définie par l'intersection, sur les arcs des heures, du parallèle de la date retenue et le fil à plomb du Trigonus) Notez après cette hauteur en votre tablette sur le point de ladite heure vis à vis du signe sur lequel vous avez dressé le filet. Et à cette manière passez avant avec la hauteur des autres heures et signes. Cette chose est fort profitable à ceux qui font Horloges, en Cylindres, Quadrants, anneau astronomiques etc.

Détermination de la hauteur du Soleil sans observation physique
1) Choix d'une latitude par rotation du disque mobile
2) Mise à niveau du plomb de la languette Horizon sur son repère de verticalité
3) Rotation du Trigonus afin de réaliser l'intersection de son fil à plomb avec une heure et un parallèle de déclinaison du Soleil
4) Lecture de l'heure définie par l'intersection, sur les arcs des heures, de la ligne parallèle de la date retenue et le fil à plomb du Trigonus

Dans sa neuvième et dernière proposition, Pierre Apian explique la façon de calculer, au moyen de l'instrument, la hauteur du Soleil sans effectuer de mesure directe sur celui-ci.
Nous retrouvons les manipulations présentées à la cinquième proposition à la différence près que ce n'est plus l'heure solaire qui est recherchée mais la hauteur du Soleil sur l'horizon.

Cette mesure s'effectue à partir de 3 paramètres déterminés à l'avance :

‣ la latitude
‣ le degré de signe
‣ l'heure
Recherche de la hauteur du Soleil

Les paramètres connus sont :

✔ La latitude: φ = 48°
✔ Le degré de signe :
‣ 20° ♊, le 1er Mars
‣ 10° ♎, 3/4 octobre
✔ L'heure: 12 heures

La hauteur du Soleil trouvée est de 51°

Vérifications

Comme la recherche s'effectue pour h = 12 heures, nous allons utiliser la formule de calcul de la hauteur méridienne du Soleil h m = 90° – φ + δ

Nous allons utiliser également la formule de calcul de la déclinaisonsin(δ) = sin(λ) x sin(ε)

Commençons par le calcul de la déclinaison δ pour le degré de signe 20° ♊.

Pour obtenir la longitude écliptique λ du Soleil, on additionne les 20° du signe des Poissons aux 330° calculés du point vernal γ à l'entrée du signe des Poissons soit λ = 20° + 330° = 350°
Avec l'obliquité de l'écliptique ε = 23°26', on a :

sin(δ) = sin(350°) x sin(23°26')
δ = –3°57'35''

Nous pouvons maintenant calculer la hauteur méridienne h m du Soleilpour une latitude φ de 35°

h m = 90° – 35° – 3°57'35''
h m = 51°02'25''

Le résultat calculée est une nouvelle en accord avec l'instrument de papier.

Une nouvelle formule de trigonométrie sphérique permet de calculer, pour une latitude φ connue, la distance zénithale z d'un astre à partir sa déclinaison δ et de son angle horaireH :

cos(z) = sin(δ) x sin(φ) + cos(δ) x cos(φ) x cos(H)

Nous savons que l'angle horaire H du Soleil à 12 heures solaires est :

H = 0°

Ce qui donne avec δ = –3°57'35'' et φ = 35°

cos(z) = 0,777588169
z = = 38,95972222°
h = 90 ° – z
h = 51,04027778 soit 51°02'25''

Conclusion

Nous voilà au terme des neuf propositions consacrées à ce singulier instrument au travers duquel Pierre Apian propose une sorte d'introduction à l'astronomie. Son instrument de papier, véritable cadran solaire, nous invite, à passer de la théorie à la pratique et à résoudre des problèmes de type astronomique à l'aide d'un outil ludique.

Dans ses ouvrages Cosmographicus Liber et dans Astronomicum Caesarum, Pierre Apian a proposé d'autres instruments de papier aussi beaux et riches d'enseignement. J'imagine le contentement de ses lecteurs du XVIe siècle devant ces chefs d'œuvres d'imagimation et de savoir-faire.

Même si nos beaux livres d'astronomie contemporains sont mille fois plus riches de savoir, de justesse et de vérité, ils leur manquent cette force que notre auteur a su atteindre: apprendre l'astronomie à son lecteur par la pratique.

Je ne suis pas latiniste, ni mathémathicien, pas plus qu'historien des sciences. Je pratique l'astronomie sans toutefois être un grand passionné par la théorie. Ce que j'aime, c'est voir, observer, être là sous les étoiles en partageant des moments nocturnes avec mes ami-e-s astronomes amateurs.
Si j'ai tenté d'être tout ce que je ne suis pas, c'est que cet instrument de papier m'a enthousiamé par son origine lointaine, par son efficacité, ses fontionnalités multiples, son esthétique simple et épuré. Cette page est sûrement austère par le nombre de calculs inutiles qui la jalonnent, mais je me suis vraiment amusé en la construisant, en voulant comprendre et vérifier comment ces quelques disques de papier fonctionnaient.
Des erreurs se sont certainement glissées... Quelles soient de calculs, d'interprétations ou de sens n'hésitez pas à me les communiquer, je saurai en tenir compte.

Notions générales d'astronomie

L'observation du ciel étoilé, par une nuit claire, nous permet d'imaginer, ne serait-ce qu'un instant, la représentation du monde des Anciens: notre regard semble se trouver au centre de la voûte céleste . Il coïncide avec une conscience spontanée, intuitive du monde qui nous entoure: tout semble réellement se passer comme si la ronde des étoiles, du Soleil et de la Lune, des planètes avaient pour centre son être et par extension la Terre. Même si nous savons que tout cela est faux, que les plus âpres combats scientifiques ont été menés pour détrôner la Terre de cette place usurpée, cette vision d'un univers géocentrique présente des qualités didactiques indéniables pour mesurer la position les astres par rapport à notre planète. Ainsi, on admettra que la Terre est encore au centre de la sphère céleste.

La sphère céleste

Les étoiles paraissent fixées sur une sphère en rotation, la sphère des fixes. Nous ne voyons qu'une moitié de cette sphère, l'autre moitié étant cachée par notre horizon local. Cette sphère tourne sur elle-même autour d'un de ses diamètres, l'axe du Monde, dont les points extrêmes forment les pôles célestes. Son mouvement apparent s'effectue d'Est en Ouest en un peu moins de 24h. L'équateur céleste est le grand cercle dont le plan est perpendiculaire à l'axe des pôles.

Les systèmes de coordonnées

Pour se repérer sur le globe terrestre, les géographes utilisent un système de deux coordonnées: la longitude et la latitude. De même, les astronomes ont à leur disposition des systèmes de coordonnées pour repérer les astres sur la sphère céleste. En fonction du plan de référence choisi, (horizon, équateur, écliptique ou galactique), la position des astres est déterminée par un système de deux coordonnées correspondant en quelque sorte à la longitude et à la latitude des géographes.

Certains de ces systèmes tels les systèmes de coordonnées équatoriales et écliptiques sont sensibles au phénomène de précession des équinoxes qui est de l'ordre d'environ 50'' d'arc par an. Les coordonnées fluctuent avec le temps et, par conséquent, doivent être régulièrement réajustées.

Les coordonnées célestes équatoriales

Le système de coordonnées équatoriales permet de repérer les astres sur la sphère céleste, au moyen d'un couple de deux coordonnées : l'ascension droite α et la déclinaison δ.

Pour établir les coordonnées équatoriales d'un astre, il faut:

✔ un plan de référence → l'équateur céleste.
C'est le grand cercle qui prolonge dans l'espace l'équateur terrestre. Il est perpendiculaire à l'axe des pôles célestes, qui eux-mêmes prolongent l'axe des pôles terrestres.
✔ un point d'origine défini sur l'équateur céleste → le point vernal ou point gamma (γ).
C'est le point d'intersection de l'équateur céleste et de l'écliptique, que le Soleil marque le jour de l'équinoxe de printemps et de l'équinoxe d'automne.
‣ Le cercle horaire d'origine des mesure de l'ascension droite α est le grand cercle passant par le point vernal γ et les pôles célestes.
‣ Le cercle horaire d'un astre est le demi-cercle passant par l'astre et les pôles célestes.

L' ascension droite α (ou AR) d'un astre est l'angle formé par le cercle horaire de cet astre avec le cercle horaire d'origine. Compté dans le sens direct (inverse des aiguilles de la montre), cet angle s'exprime généralement en heures (h) minutes (m) et secondes (s) de 0h à 24h.

La déclinaison δ d'un astre est l'angle de l'équateur céleste avec la direction de cet astre sur son cercle horaire. Dans l'hémisphère nord, la déclinaison se compte de 0° à 90° vers le pôle nord et dans l'hémisphère Sud de 0° à -90° vers le pôle Sud. Cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('').

volv35

Les coordonnées célestes équatoriales
L'astre A est repéré par:
L'ascension droite α correspondant à l'arc γa
La déclinaison δ correspondant à l'arc aA

Les coordonnées célestes écliptiques

Le système de coordonnées écliptiques permet de repérer les astres sur la sphère céleste, au moyen d'un couple de deux coordonnées : la longitude écliptique λ et la latitude écliptique β.

Pour établir les coordonnées écliptiques d'un astre, il faut:

✔ un plan de référence → l'écliptique.
C'est le grand cercle de la sphère céleste parcouru par le Soleil dans son mouvement apparent autour de la Terre. Le diamètre de la sphère céleste perpendiculaire à l'écliptique correspond à l'axe des pôles de l'écliptique.
✔ un point d'origine défini sur l'écliptique → le point vernal ou point gamma (γ).
C'est le point d'intersection de l'équateur céleste et de l'écliptique, que le Soleil marque le jour de l'équinoxe de printemps et de l'équinoxe d'automne.
‣ Le cercle d'origine des mesures de la longitude écliptique λ est le grand cercle passant par le point vernal γ et les pôles de l'écliptique.
‣ Le méridien écliptique d'un astre est le demi-cercle passant par l'astre et les pôles écliptique.

La longitude écliptique λ d'un astre est l'angle formé par le cercle méridien de cet astre avec le cercle méridien du point vernal γ. Compté dans le sens direct (inverse des aiguilles de la montre), cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('') de 0° à 360°

La latitude écliptique β d'un astre est l'angle de l'écliptique avec la direction de cet astre sur son cercle méridien. Dans l'hémisphère nord, la déclinaison se compte de 0° à 90° vers le pôle nord et dans l'hémisphère Sud de 0° à -90° vers le pôle Sud. Cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('').

volv36

Les coordonnées célestes écliptiques
L'astre A est repéré par:
La longitude écliptique λ correspondant à l'arc γb
La latitude écliptique β correspondant à l'arc bA

L'écliptique forme un angle de 23°26' avec l'équateur céleste. Cet angle porte le nom d'obliquité de l'écliptique et se note ε.

Le zodiaque est une bande de la sphère céleste large de 8,5° de part et d'autre du cercle de l'écliptique qui en marque le centre. Il est divisé en 12 parties de 30°, les douze signes du zodiaque C'est dans cette zone que la Lune et les planètes mènent leurs rondes célestes apparentes.
Cette division en 12 parties de 30° est très ancienne et remonte à l'Antiquité : vers le Ve av JC, les Babyloniens l'utilisaient déjà. Il y a 2 000 ans, le point vernal marquait effectivement l'équinoxe de printemps dans le signe du Bélier dans lequel se levait le Soleil. Mais du fait de la précession des équinoxes, qui est de l'orde d'environ 50'' par an, le point vernal s'est décalé en 2 000 ans de pratiquement 30° soit un signe complet... Actuellement, le Soleil se lève dans la constellation des Poissons le jour de l'équinoxe de printemps. C'est sûrement gênant pour un astrologue, mais c'est sans incidence pour l'utilisation de l'instrument de Pierre Apian, puisque nous raisonnons sur la longitude et la déclinaison du Soleil : le 21 mars, même si le Soleil ne se lève pas dans le signe du Bélier, sa longitude écliptique est nulle, de même que sa déclinaison. C'est pour cela que nous pouvons continuer d'utiliser les signes astrologiques du zodiaque...
Quant au Soleil, il occupe une position particulière sur le cercle écliptique: durant son parcours annuel, sa latitude écliptique β est toujours égale à 0. Il en occupe donc le centre.

Les coordonnées célestes horizontales locales

Le système de coordonnées horizontales permet de repérer les astres sur la sphère céleste locale, au moyen d'un couple de deux coordonnées : l'azimut Az et la hauteur h.

Pour établir les coordonnées horizontales d'un astre, il faut:

✔ un plan de référence → l'horizon.
C'est le grand cercle de la sphère locale passant par les quatre points cardinaux d'un lieu. La perpendiculaire de ce plan horizontal, donné par le fil à plomb, s'appelle la verticale du lieu et perce la sphère locale en deux points, le zénith en haut et le nadir en bas.
✔ un point d'origine défini sur l'horizon → le sud.
C'est le point cardinal marqué par l'intersection de l'horizon local avec le méridien du lieu.
‣ Le cercle d'origine des mesures de l'azimut Az est le méridien du lieu, grand cercle passant par les pôles célestes et la verticale Zénith-Nadir de ce lieu. Ce grand cercle local passe par le nord, le pôle nord céleste, le zénith, le sud, le pôle sud céleste, le nadir.
‣ Le vertical d'un astre est le demi-cercle contenant la verticale Zénith-Nadir et l'astre.

L' azimut Az; d'un astre est l'angle formé par le vertical de cet astre avec le cercle méridien du lieu côté Sud. Compté dans le sens rétrograde (sens des aiguilles de la montre), cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('') de 0 à 360°. Il se compte aussi de 0 à ±180°, positivement vers l'Ouest et négativement vers l'Est.

La hauteur h d'un astre est l'angle que forme l'horizon avec la direction de cet astre sur son vertical. Cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('') de 0° à 90°.

volv37

Les coordonnées célestes horizontales locales
L'astre A est repéré par:
L'azimut Az correspondant à l'arc Sud-a
La hauteur h correspondant à l'arc aA

La latitude du lieu φ est égale à l'angle entre le pôle nord céleste et le point nord de l'horizon ou à l'angle entre le zénith et l'équateur céleste.

Le lever et le coucher de l'astre A sont signalés sur le cercle horizon par les lettres L et C.

Dans le système de coordonnées horizontales, la hauteur h d'un astre mesure son altitude au dessus-de l'horizon. On appelle almucantarat (de l'arabe al-muquantara, astrolabe) le cercle de la sphère céleste reliant tous les points de hauteurs égales parallèlement à horizon. On les nomme également cercles de hauteur ou parallèles de hauteur.

volv38

Les almucantarats ou cercles de hauteur

Les coordonnées célestes horaires

Le système de coordonnées horaires permet de repérer les astres sur la sphère céleste locale, au moyen d'un couple de deux coordonnées : l'angle horaire H et la déclinaison δ.

Pour établir les coordonnées horaires d'un astre, il faut:

✔ un plan de référence → l'équateur céleste.
C'est le grand cercle qui prolonge dans l'espace l'équateur terrestre. Il est perpendiculaire à l'axe des pôles célestes, qui eux-mêmes prolongent l'axe des pôles terrestres.
✔ Un point d'origine défini sur le méridien local → le sud
‣ Le cercle d'origine des mesures de l'angle horaire H est le méridien du lieu, grand cercle passant par les pôles célestes et la verticale Zénith-Nadir de ce lieu.
‣ Le cercle horaire d'un astre est le demi-cercle passant par l'astre et les pôles célestes.

L' angle horaire H d'un astre est l'angle formé par le cercle horaire de cet astre avec le cercle méridien du lieu côté Sud. Compté dans le sens rétrograde (sens des aiguilles de la montre), cet angle s'exprime en heures (h) minutes (') secondes ('') de 0h à 24h°.

La déclinaison δ d'un astre est l'angle de l'équateur céleste avec la direction de cet astre sur son cercle horaire. Dans l'hémisphère nord, la déclinaison se compte de 0° à 90° vers le pôle nord et dans l'hémisphère Sud de 0° à -90° vers le pôle Sud. Cet angle s'exprime en degrés (°) minutes (') secondes ('').

volv39

Les coordonnées célestes horaires
L'astre A est repéré par:
L'angle horaire H correspondant à l'arc Sud-a
La déclinaison δ correspondant à l'arc aA

Trigonométrie sphèrique

Voici un résumé des formules de trigonométrie sphérique qui ont été utilisées pour vérifier par le calcul les mesures obtenues avec l'instrument de Pierre Apian.

La trigonométrie sphérique est un outil mathématique complexe, utile à l'astronome pour le calcul de la position des astres sur la sphère céleste en permettant le passage d'un système de coordonnées à un autre.

La position d'un astre sur la sphère céleste peut se décrire à l'aide d'un triangle sphèrique appelé triangle de position. On retrouve d'ailleurs les éléments de ce triangle sur l'instrument de papier de Pierre Apian.

volv39

Le triangle sphérique

Pour un observateur situé au centre O de son horizon local, la position de l'astre S est définie, à un instant t, par le triangle de position PZS constitué par le pôle céleste boréal P, le zénith du lieu Z et l'astre observé S.

Les trois grands cercles de la sphère céleste constituant le triangle sphérique sont :

✔ le méridien du lieu passant par le Nord, le pôle céleste P, le zénith Z et le Sud
✔ le cercle horaire de l'astre S, passant par les pôles et l'astre S
✔ le cercle d'azimut de l'astre S passant par la verticale du lieu et l'astre S

Le triangle de position de l'astre S est défini parles trois angles suivants :

✔ ∠ZPS qui est égal à l'angle horaire H de l'astre S
✔ ∠PZS qui est égal à l'azimut de l'astre S
✔ ∠ZSP qui est égal à l'angle de l'astre S

Les trois arcs du triangle sont:

✔ l'arc PS qui est égal à la distance polaire p avec p = 90° - δ
✔ l'arc PZ qui est égal à la colatitude θ du lieu avec θ = 90° - φ
✔ l'arc ZS qui est égal à la distance zénithale z de l'astre avec z = 90° - h

Les angles p, θ et z sont les angles complémentaires de la déclinaison δ l'astre S , la latitude φ du lieu et de la hauteur h de l'astre S.
À noter que l'angle ∠PZS est le supplément (complément à 180°) de l'azimut de l'astre S et s'exprime par ∠PZS= 180° - Az

Formule utilisée à la sixième proposition

Calcul de l'heure du lever du Soleil, à partir de la latitude φ et de la déclinaison δ

cos(- Heure Lever) = - tg φ x tg δ

Calcul de l'heure du coucher du Soleil, à partir de la latitude φ et de la déclinaison δ

cos(Heure Coucher) = - tg φ x tg δ

Formule utilisée à la septème proposition

Calcul de l'azimut Az du lever et du coucher d'un astre à partir de sa déclinaison δ et de la latitude φ

cos Az = - sin δ / cos φ

Formule utilisée à la huitième proposition

Calcul de l'angle horaire d'un astre, à partir de sa distance zénithale z, de sa déclinaison δ et de la latitude φ

cos(H) = [cos(z) – sin(δ) x sin(φ)] / cos(δ) x cos(φ)

On prend pour H, la détermination positive ou négative selon que l'astre considéré est à l'Ouest ou à l'Est.

Pour le calcul de l'heure du crépuscule astronomique, la distance zénithale est:

z = 90° - (-18°) = 108°

Formule utilisée à la neuvième proposition

Calcul de la distance zénithale d'un astre, à partir de sa déclinaison δ, de son angle horaire H et de la latitude φ

cos(z) = sin(δ) x sin(φ) + cos(δ) x cos(φ) x cos(H)

La hauteur h de l'astre s'obtient:

h = 90° - z

Le Soleil représente un cas particulier par le fait qu'il se trouve constamment sur l'écliptique avec une latitude β toujours égale à zéro. D'autre part, la projection du cercle horaire du Soleil sur l'équateur forme un angle droit. Dans ce cas, les formules de calcul concernent un triangle sphérique rectangle.

volv41

Le triangle sphérique rectangle

Formule utilisée à la seconde, à la sixième et à la neuvième proposition

Calcul de la déclinaison δ à partir de la longitude écliptique λ et de l'obliquité de l'écliptique ε :

sin(δ) = sin(λ) x sin(ε)

Vérifications de la construction de l'instrument

Pour redessiner l'instrument, j'ai utilisé le logiciel Geogebra avec deux routines de constructions inspirées des ouvrages, cités précédemment, «Instruments scientifiques à travers l'histoire» (page 151, Chapitre 7 de Véronique Hauguel – Tournent, tournent les volvelles) et «L'Astrolabe, histoire, théorie et pratique» de Raymond d'Hollander (page 263, Chapitre IX - L'astrolabe de Rojas).
Le résultat de ces deux constructions sont sensiblement identiques si ce n'est une légère différence quant à la restitution des arcs horaires.

Pour faciliter leur comparaison, je les note ① et ② avec :

① La première routine de construction des arcs horaires est tirée de l'ouvrage « Instruments scientifiques à travers l'histoire»
② La seconde routine est tirée de l'ouvrage «L'Astrolabe, histoire, théorie et pratique»

Pour en avoir le coeur net , j'ai utilisé un logiciel de traitement d'images qui permet de superposer, au moyen de calques, plusieurs images et de jouer indépendamment sur leur opacité. Les logiciels Gimp ou Photoshop réalisent très bien cette manipulation.

Comme support de vérification, j'ai utilisé deux modèles de volvelle:

✔ la volvelle de l'édition originale de 1524
✔ une volvelle d'une édition de 1553
Les superpositions

La superposition avec l'instrument de 1524

La superposition avec l'instrument de 1553

✔ Sur la superposition de l'instrument de 1524, les arcs horaires de la construction ① ne correspondent pas alors que ceux de la construction ② correspondent.
✔ Sur la superposition de l'instrument de 1553, c'est l'inverse qui se produit. Les arcs horaires correspondent sur ① mais ne correspondent plus sur ②.

Pour tenter d'y voir plus clair, j'ai configuré l'instrument pour une latitude, un jour et une heure. Ensuite j'ai comparé les résultats obtenus avec ceux de Cartes du Ciel configurés avec les mêmes paramètres.

Les paramètres de configuration de l'instrument utilisés sont :

✔ la latitude φ est de 35° Nord
✔ la ligne parallèle de déclinaison 0° ♑ (Capricorne) soit une longitude écliptique de 270°
✔ l'heure est un peu après 9 heures du matin sur la construction ① et neuf heures du matin sur la construction ②
✔ la hauteur du Soleilest de 18°.

cdc3
✔ Les données de Cartes du Ciel :
La latitude φ est égale à 35° Nord et la longitude à 0°.

① Nous sommes le 22 décembre 2015 et il est 9h58m22s CET soit 8h58m22s TU. L'équation du temps pour ce jour est égale à -1m37s. Si on applique la formule
H vrai = H moyen – E(t) – λ, on obtient H vrai = 8h59m59''.
② L'angle horaire du Soleil est 21h, soit 9h du matin en Temps solaire vrai.
③ La longitude écliptique du Soleil est de +270°10'43'' qui correspond à la position 0° ♑ du calendrier zodiacal de l'instrument. C'est le jour du solstice d'hiver.
④ La hauteur (ou l'altitude) du Soleil est de 17°42'23.8''

Les données de Cartes du Ciel concordent avec celles de la configuration de la construction ②, l'arc horaire intercepté correspond à l'angle horaire fourni par Cartes du Ciel.

Le kit de l'instrument de papier

Voici deux planches du kit de la volvelle à télécharger et à imprimer.
Le Support fixe et Les autres éléments de la volvelle
Il est préférable d'imprimer sur du papier A4 120 g/m2 ou même d'un grammage supérieur, pour assurer une bonne rigidité à l'ensemble.
N'oubliez pas d'adapter l'impression au format A4, la taille des images étant de 3629 x 4551 pixels
Pour le montage, j'ai utilisé un fermoir de boucle d'oreille pour l'axe de rotation, du fil à coudre et deux petis plombs de pêche pour la plombée.
Lors du collage de la languette Linea Umbra sur le triangle Trigonus, laissez bien dépasser un morceau de la languette pour le plier ensuite à 90° (c'est le gnomon-pinnacide).
Je vous souhaite un bon montage et amusez-vous bien...

Bibliographie et sites

Ouvrages

• L'astrolabe. Histoire, théorie et pratique - Raymond D'Hollander
Éditions Institut océanographique - 1999 - ISBN : 2-903581-19-3
• Instruments scientifiques à travers l'Histoire - Ouvrage collectif sous la direction d'Élisabeth Hébert
Éditions Ellipses - 2004 - ISBN : 2-7298-1804-9
• De l'analemme aux cadrans de hauteur - Yvon Massé
Édité à compte d'auteur - 2009 - ISBN : 978-2-7466-1307-2
• Histoire du point astronomique en mer - Jean-José Ségéric
Marines éditions - 2006 - ISBN : 2-915379-41-6
• L'image du monde des Babyloniens à Newton - Joëlle Fontaine et Arkan Simaan
Vuibert et Adapt-Snes éditions - 2010 - ISBN : 978-2-311-00000-9
• Rythmes du temps. Astronomie et calendriers. - Émile Biémont
De Boeck et Larcier S.A.- 2000 - ISBN : 2-8041-3287-0
• Astronomie et Astrophysique - Marc Seguin et Benoît Villeneuve
De Boeck et Larcier S.A. - 2002 - ISBN : 92-8041-4012-1
• Les instruments de l'Astronomie ancienne de l'Antiquité à la Renaissance - Philippe Dutarte
Vuibert - 2006 - ISBN :2-7117-7164-4

Sites

• Le site d'Yvon Massé
http://yvon.masse.perso.sfr.fr/gnomon/
• Association Méridienne
http://www.meridienne.org/index.php?page=accueil
• P.G.J. Astronomie
http://pgj.pagesperso-orange.fr/
• Bibliothèque Nationale de France
http://www.bnf.fr/fr/acc/x.accueil.html
• Le catalogue du Système Universitaire de Documentation (SUDOC)
http://www.sudoc.abes.fr/
• Uranie
Bibliothèque numérique de livres anciens d’astronomie issus des fonds des bibliothèques d’Aquitaine et de l’Observatoire de Paris.
http://uranie.msha.fr/
• Archive.org
https://archive.org/index.php
• Geogebra
Toutes les figures de cette page ont été réalisées avec cet excellent logiciel de géométrie gratuit
https://www.geogebra.org/?lang=fr
• Cartes du Ciel
http://www.ap-i.net/skychart/fr/start